2013年山东高考理科数学试题及答案解析 (word版)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 

　　（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(  D  ) 

　　 A. 2+i      B.2-i       C. 5+i         D.5-i  

　　（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是(   C ) 

A. 1     B. 3      C. 5         D.9 

　　（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= (   A   ) 

　　（A）-2        （B）0         （C）1      （D）2 

　　（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为 的正      三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 (    B   ) 

　　（A）     （B）   （C）     （D） 

　　（5）将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为                     B

　　（A）       （B）         （C）0     （D） 

　　（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为                    C

　　（A）2          （B）1      （C）        （D） 

　　（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的        B

　　（A）充分而不必条件               （B）必要而不充分条件     

　　（C）充要条件                     （D）既不充分也不必要条件 　　

（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为                               D

　　（A）　                      （B）                    (C)                    (D)

　　（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为                                                             A

　　（A）2x+y-3=0      （B）2x-y-3=0         （C）4x-y-3=0      （D）4x+y-3=0 

　　（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为      B

　　（A）243      （B）252       （C）261       （D）279 

　　（11）抛物线C1：y=  x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=       D

　（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值

为       B            （A）0       （B）1         （C）      （D）3 

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 

　（13）执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值为   3

　(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为   

（15）已知向量与的夹角为，且若

且,则实数的值为   

（16）定义“正对数”：，现有四个命题：

①若，则

②若，则

③若，则

④若，则

其中的真命题有：   ①③④          （写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

　　（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .

　（Ⅰ）求a，c的值； 

  （Ⅱ）求sin（A-B）的值.

解答：（1）由cosB= 与余弦定理得，，又a+c=6，解得

（2）又a=3,b=2，与正弦定理可得，,，

所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

　（18）（本小题满分12分） 

　如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。 

　　（Ⅰ）求证：AB//GH； 

　　（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 .

解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB

同理：EF//AB，所以EF//CD，EF平面EFQ，

所以CD//平面EFQ，又CD平面PCD,所以

CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.

(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为，平面EFG的一个法向量为，可得,所以二面角D-GH-E的余弦值为

（19）本小题满分12分 

　　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相.

　（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 

  （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为

3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.

解答：（1），，

（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0

相应的概率依次为：，所以EX=

　　（20）（本小题满分12分） 

　　设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 

（1） 求数列｛an｝的通项公式； 

（2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+ = λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N•）.求数列｛cn｝的前n项和Rn. 

解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，

所以

（2）由Tn+ = λ可得，，Tn-1+ = λ两式相减可得，当时，，所以当时，cn=b2n=，错位相减法可得，Rn=

当时，cn=b2n=，可得Rn=

　　（21）（本小题满分13分） 　

设函数是自然对数的底数，.

（1）求的单调区间，最大值；

（2）讨论关于x的方程根的个数.

解答：（1），令得，，

当

所以当时，函数取得最的最大值

（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。

故令f(1)=0得，，

所以当时，方程有两个根；

当时，方程有一两个根；

当时，方程有无两个根.

（22）（本小题满分13分） 

　　椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. 

　　（Ⅰ）求椭圆C的方程； 

　　（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 

　　PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； 

　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.

解答：（1）由已知得，，，解得

所以椭圆方程为：

（2）由题意可知：

=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：m（，因为， 

所以，而，所以

（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：

，所以，而，代入中得：

为定值.