2009年高考山东卷数学(理科)试题及参

一、选择题（本大题共12小题，共0分）

1．（2009山东理1）集合, ,若,则的值为（    ）

A.0          B.1        C.2        D.4

【答案】D

【解题关键点】因为.所以,选D.

【结束】

2．（2009山东理2）复数等于（    ）

A.        B.        C.         D. 

【答案】C

【解题关键点】因为，故选C.

【结束】

3．（2009山东理3）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（    ）

A.       B.     C.     D. 

【答案】B

【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为，

，选B.

【结束】

4．（2009山东理4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A.        B.            C.       D. 

【答案】C

【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积,为故选C.

【结束】

5．（2009山东理5）已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出；但是，反过来，若且为平面内的一条直线，则不一定有，还可能有与平面相交但不垂直、、.故选B.

【结束】

6．（2009山东理6）函数的图像大致为（    ）

A.  B.

C.   D.

【答案】A

【解题关键点】排除法：因为当时，函数无意义，故排除,故选A.

【结束】

7．（2009山东理7）设是所在平面内的一点，则（       ）

A.        B. 

C.       D. 

【答案】B

【解题关键点】因为，所以点为的中点，.即有，故选B.

【结束】

8．（2009山东理8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围

[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（    ） 

A.90     B.75    C.60     D.45 

【答案】A

【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为

，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为，故选A.

【结束】

9．（2009山东理9）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（    ）

A.       B.5        C.        D. 

【答案】D

【解题关键点】由题意知：双曲线的一条渐近线为，由方程组消去y，得有唯一解，所以，所以

，故选D.

【结束】

10．（2009山东理10）定义在上的函数满足，则的值为（    ）

A.          B.0         C.1         D.2

【答案】C

【解题关键点】由已知得

所以函数的值以6为周期重复性出现，所以，故选C

【结束】

11．（2009山东理11）在区间[，1]上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（    ） 

A.          B.        C.        D. 

【答案】A

【解题关键点】当时，在区间上，只有或，即，根据几何概型的计算方法，这个概率值是.

【结束】

12．（2009山东理12）设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则其的最小值为（    ）

A.          B.        C.        D. 

【答案】A

【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：

当直线过直线与直线

的交点时，目标函数

取最大值12，即，即，

而，当且仅

当时取等号，故选A .

【结束】

二、填空题（本大题共4小题，共0分）

13．（2009山东理13）不等式的解集为          .

【答案】

【解题关键点】原不等式等价于，两边平方并整理得：，解得.

【结束】

14．（2009山东理14）若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是        .

【答案】

【解题关键点】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【结束】

15．（2009山东理15）执行右边的程序框图，输入的=         .

【答案】30

【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.

【结束】

16．（2009山东理16）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则

【答案】

【解题关键点】因为定义在上的奇函数，满足，所以，所以，由为奇函数，所以函数图像关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，如下图所示，那么方程在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，

，所以.

【结束】

三、解答题（本大题共6小题，共0分）

17．（2009山东理17）设函数.

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设, ,为的三个内角，若，且为锐角，求.

【答案】（I）

，

当时，函数的最大值为，最小正周期为.

（II）==－，得到，又为锐角，故，

故.

【解题关键点】

【结束】

18．（2009山东理18）如图，在直四棱柱中，底面为等腰三角形，平行， =4, ==2, =2, ,，分别为棱，的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】解法一：（I）在在直四棱柱

中，取的中点，连结，由于

，所以平面，因此平面即为平面，连结，由于，

所以四边形为平行四边形，因此，又因为、分别是棱、的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以直线平面.

（II）因为是棱的中点，所以为正三角形，取的中点，则，又因为直四棱柱中，平面，所以，所以，过在平面内作，垂足为，连接，则为二面角的一个平面角，在为正三角形中，在中，～，∵

∴，在中，，所以二面角的余弦值为.

解法二:（I）因为是棱的中点

所以，为正三角形，因为为

等腰梯形,所以,取的中点, 

连接,则,所以，

以为轴,为轴,为轴建立空间直

角坐标系如图所示,

则（0,0,0）， ， ，

， ， ，所以

, ,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面.      

（II）,设平面的法向量为,则所以，取，则

，

,，     

所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 

【解题关键点】

【结束】

19．（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在处没投进一球得3分，在处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在处的命中率为0.25，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

(1)求的值；

(2)求随机变量的数学期望;

(3)试比较该同学选择都在处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.

【答案】（I）设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互,且, , ,.

根据分布列知: =0时=0.03,所以,.

（II）当=2时, =            ， ()，     

()

当=3时, =；

当=4时, =；

当=5时, =

所以随机变量的分布列为

随机变量的数学期望

.

（III）该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为

；

该同学选择（I）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率.

【解题关键点】

【结束】

20．（2009山东理20）等比数列{}的前项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，记  

证明：对任意的，不等式成立

【答案】（I）由题意知：.当时，

，由于且，所以当时，{}是以为公比的等比数列，又，即，解得.

（II）当时，，

又当时，适合上式， ， 

，

下面有数学归纳法来证明不等式：

证明：（1）当时，左边右边，不等式成立.

（2）假设当时，不等式成立，即

，当时，左边，所以当时,不等式也成立.

由（1）、（2）可得当时，不等式恒成立，所以对任意的，不等式成立.

【解题关键点】

【结束】

21．（2009山东理21）两县城和相聚，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为,统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理厂建在的中点时，对称和城的总影响度为0.0065.

（1）将表示成的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离，若不存在，说明理由.

【答案】（I）如右图,由题意知, ,

当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到、的距离都相等，且为，所以有，

解得，

（II） ,

令，得，解得，即，

又因为，所以函数在上是减函数，在上是增函数，

当时，y取得最小值，

所以在弧上存在一点，且此点到城市的距离为，使建在此处的垃圾

处理厂对城市、的总影响度最小.

【解题关键点】

【结束】

22．（2009山东理22）设椭圆: 过（2，），(,1)两点，为坐标原点，

（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点, ,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由.

【答案】（I）椭圆: 过（2，），(,1)两点，

，解得，所以椭圆的方程为.

（II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，

只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为，则当直线的斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得

,即,

则,即

,要使,需使,即,所以,

所以又,所以,所以,即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为, , ,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,

， 

当时,，

当时，

因为所以,故

当AB的斜率不存在时,.

综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且的取值范围是.

【解题关键点】

【结束】