例析洛伦兹力的分解问题

作者：廖忠福

来源：《物理教学探讨》2010年第07期

        带电粒子垂直进入磁场时,如果只受到洛伦兹力做匀速圆周运动,或是在平衡力作用下做匀速直线运动,这都是我们比较熟悉的题型。但是如果带电粒子在磁场中的运动轨迹比较复杂,怎样才能顺利求解?这时若把洛伦兹力进行合理分解,可能会收到不错的效果。仅举几例,让我们一起来探讨。

        1 分解洛伦兹力,轻松理解运动过程

        例1 如图1所示,下端封闭、上端开口、内壁光滑的细玻璃管竖直放置,管底有一带电的小球,整个装置水平匀速向右运动,垂直于磁场方向进入方向水平的匀强磁场,由于外力的作用,玻璃管在磁场中的速度保持不变,最终小球从上端口飞出,则( )

        A.小球带正电荷

        B.小球从进入磁场到飞出端口前的过程中做类平抛运动

        C.小球从进入磁场到飞出端口前的过程中洛伦兹力对小球做正功

        D.小球从进入磁场到飞出端口前的过程中管壁的弹力对小球做正功

        在此题中,不少学生对小球的运动性质及洛伦兹力是否会做功这两个问题感到困惑,一旦在理解洛伦兹力是否做功问题上出现差错,整个解题思路就走入困境。但如果对小球受到的洛伦兹力进行合理分解,这些问题则可顺利求解。

        解析 小球共受三个力(如图2):向下的重力、水平向右的管壁弹力(从0逐渐增大)、方向为左上但方向会逆时针旋转变化的洛伦兹力。把小球运动速度分解到水平方向vx和竖直方向vy,则:

        1)洛伦兹力的水平分量与管壁弹力平衡: qvyB=N(因为小球水平方向为匀速运动。)

        2)洛伦兹力的竖直分量为一恒定的值:qvxB-mg=ma(因为小球速度的水平分量vx不变,洛伦兹力的竖直分量大于重力,否则小球不会飞出。)

        由上面分析可见,小球的运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀加速运动的合运动,类似平抛运动。再根据功的定义,管壁的弹力向右,小球也有向右的位移,因此对小球做了正功。而洛伦兹力的水平分量和竖直分量所做功的代数和为零,即洛仑兹力是不会做功的。由以上分析可知,正确答案是ABD。

        2 分解洛伦兹力,让复杂的运动化繁为简

        例2 如图3所示为某种新型分离设备内部电、磁场分布情况图。自上而下分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域。区域Ⅰ宽度为d1,分布有沿纸面向下的匀强电场E1;区域Ⅱ宽度为d2,分布有垂直纸面向里的匀强磁场B1;宽度可调的区域Ⅲ中分布有沿纸面向下的匀强电场E2和垂直纸面向里的匀强磁场B2。现有一群质量和带电量均不同的带电粒子从区域Ⅰ上边缘的注入孔A点被注入,这些粒子都只在电场力作用下由静止开始运动,然后相继进入Ⅱ、Ⅲ两个区域,满足一定条件的粒子将回到区域Ⅰ,其他粒子则从区域Ⅲ飞出,三区域都足够长。已知能飞回区域Ⅰ的带电粒子的质量为m=6.4×10-27kg、带电量为q=3.2×10-19C,且有d1=10cm,d2=52cm,d3>10cm,E1=E2=40V/m,B1=4×10-3T,B2=22×10-3T。试求:

        (1)该带电粒子离开区域Ⅰ时的速度;

        (2)该带电粒子离开区域Ⅱ时的速度;

        (3)该带电粒子第一次回到区域Ⅰ的上边缘时离开A点的距离。

        解析 为研究方便,建立如图4所示坐标系。

        (1)设带电粒子离开区域Ⅰ时的速度为v

        由qE1d1=12mv2得:

        从第(3)问的求解过程可知,粒子在区域Ⅲ的运动轨迹是一个复杂的曲线运动,如果把洛伦兹力进行恰当的分解后,就可以将这个复杂的曲线运动分解成两个熟悉而简单的运动,再进行求解也就很顺利了。

        3 分解洛伦兹力,让抽象的轨迹就地遁形

        例3 如图5所示,速度选择器极板长为L,极板间距为d,匀强电场的电场强度为E,匀强磁场的磁感应强度为B,S1与S2是位于绝缘板上的正对小孔,一个质量为m,电荷量为q的负粒子(不计重力)以初速度v0从小孔S1进入两极板间,粒子沿直线从小孔S2穿出。

        (1)求速度v0;

        (2)如果该粒子以v=0.6v0从小孔S1进入两极板间,请以S1为原点,水平方向为x轴,建立直角坐标系,写出粒子的横坐标与纵坐标随时间的变化规律。

        解析 (1)粒子进入电磁场中,受到电场力qE和洛伦兹力qv0B作用,沿直线从小孔穿出时,由qE=qv0B可知,v0=E/B

        (2)从第(1)问中发现,当以0.6v0的速度进入时,粒子受到的洛伦兹力与电场力不再平衡,其运动轨迹复杂。如果能够把这个复杂的运动进行分解,找出其两个简单的分运动,则问题就能迎刃而解。

        于是把入射速度v=0.6v0在同一直线上进行分解,分解为向右v1=v0和向左v2=-0.4v0,则粒子同时受到两个洛伦兹力作用,f1=qv1B和f2=qv2B (如图6示)。其中f1=qE,粒子在水平方向做匀速直线运动,速度为v0;而f2=0.4qv0B则提供向心力,使粒子在竖直面上做匀速圆周运动。从运动的性上来看,该粒子的运动是由水平方向的匀速直线运动与竖直面上的圆周运动合成的。

        设经过时间t,圆周运动所转过的圆心角为θ,则:匀速直线运动的水平位移:

        从以上几题不难看出,把洛伦兹力进行合理分解后,一个复杂的曲线运动就分解成两个熟悉且简单的运动,我们只需对两个简单的分运动进行的研究,问题就变得清晰容易了。

        (栏目编辑 陈 洁)