2011年大一上学期厦门大学高等数学期中试卷答案

试卷类型：（理工类A卷）  考试日期  2011.11.27

          高等数学A类教学组

1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）

   （1）         （2）

   （3）           （4）

解：（1）

   （2）

   （3） 

   （4）

2．求下列数列的极限：（每小题4分，共8分）

   （1）            （2）

解：（1）， 

   （2）法一、由拉格朗日定理，知，使得，

        法二、

3．（10分）设数列满足，，

（1）试证明此数列极限存在，并求出；

（2）试求。

（1）证明：由归纳假设知，又由单调有界准则可知此数列

极限存在；令则由，得故；

（2）解：。

4．（10分）求函数的间断点，并判断其类型。

解：其间断点为。

和都不存在且不为，是振荡间断点；

，是跳跃间断点；

，是可去间断点；

，是无穷间断点。

5．（6分）求函数的导数和微分。

解：； 

6．（10分）已知，试求。

解： 

7．（10分）已知在处可导，试求出和。

解：由在处可导，知

         以及

     可得

         以及

     故以及， 

8．（10分）设函数的极坐标式为，求及。 

解：， 

。

9．（10分）设函数和都是二阶可导，并且为的反函数，已知

，求及。

解：由，两边对x求导，可得         （1）

把x=1代入（1）式，得；

再次对（1）式两边x求导，得（2）

把x=1代入（2）式，得。

10．（10分）以下两题任选其一（仅做一题）

（1）设在上连续，在内可导，，证明：至少

存在，使得。

（2）设在上连续，在内可导，，证明：至少

存在，使得。

解：（1），由介值定理，知，使得。

    令，则在上连续，在内可导，且，

    由罗尔定理，存在，使得即。

（2）令，则在上连续，在内可导，且，

由罗尔定理，存在，使得即。

附加题 （10分）

依次求解下列问题

（1）证明方程有唯一的实根；

（2）证明存在并求其值A；

（3）证明当时，与是同阶无穷小。

证：（1）令，则，

由连续函数的零点定理知，对任意给定的自然数n ，均存在，使得，

又因为  ，所以函数关于x严格单调增加，

故函数有唯一的实根，即对任意给定的自然数n，方程有唯一的实根。

（2）由于，即，因为,且，

所以，故。

（3）因为  ，故与是同阶无穷小。

上式用到了的等价无穷小代换。