2.2平面向量的线性运算

[教学目标]

一、知识与能力：

1． 掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；

2． 能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；

3． 掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。

4．理解实数与向量的积和它的几何意义；

5． 理解实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；

6． 理解一个向量与非零向量共线的充要条件；会表示与非零向量共线的向量，能判断两个向量是否共线

二、过程与方法：

1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

2．体会数形结合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

[教学重点]

向量加法、减法定义的理解；实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．

[教学难点]

向量加法、减法的意义；向量共线的充要条件．

[教学时数]

2课时。

[教学过程]

第一课时

一、新课导入

1． 物理学中，两次位移的结果与位移是相同的。

2． 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？

3． 引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、向量的加法

1． 已知向量a,b，在平面内任取一点A，作a， b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a

例1 已知向量a,b，用两种方法求作向量a+b。

作法一：在平面内任取一点O，作a， b，则a+b.

作法二：在平面内任取一点O，做a， b，以、为邻边作，则a+b。

2． 共线向量的加法

思考：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

归纳：

1.两个向量的和仍是一个向量。

2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.

3.当a与b共线时，

(1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.

(2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.

3. 向量加法的运算律

探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,bR，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？

要求学生画图进行探索.

（1）如图作，使a， b，则b， a，

因为a+b， a+b

所以，a+b=b+a

（2）如图自平面内任一点A，作a， b， c，

因为(a+b)+c，

a+(b+c)，

       所以(a+b)+c=a+(b+c).

例2 一艘船以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

解：如图，设表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度，

在RtABC中， 2km/h， km/h，所以，

因为，所以，

答：船实际航行速度的大小为4km/h，方向与流速间的夹角为60。

练习1：课本P93,1、2、3、4

练习2：摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行________千米，它向上游航行时，每小时能行___________千米.(40、10)

三、向量的减法

探究：减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？

1．相反向量 

规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，显然-(-a)=a，

规定，零向量的相反向量仍是零向量。

2．向量减法的定义

任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0，所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，

定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

3．运算法则

已知a、b，在平面内任取一点O，作a， b，则a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

例3 已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d.

解：

例4 在中， a， b，试用a、b表示向量.

解：由向量加法的平行四边形法则可知a+b，

        由向量减法可知a-b。

练习3：课本P96 练习1、2、3

练习4：判断下列等式是否成立：

(1)a+b=b+a      (  )

(2)a-b=b-a      (  )

(3)0-a=a        (  )

(4)-(-a)=a      (  )

(5)a+(-a)=0     (  )

四、小结与作业

1． 在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义；

2． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角线形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

3． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；

4． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量。

师生活动设计：

师生共同总结、交流、完善.

回家作业：

布置作业：

习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8

第二课时

一、新课导入

探究：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.

类似数的乘法，把a+a+a记作3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的3倍，即|3a|=3|a|.

同样，(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)，显然3(-a)的方向与a的方向相反，3(-a)的长度是a的3倍，这样3(-a)=-3a.

师生活动设计：

由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。

二、讲授新课

1．定义：实数与向量a的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：

   （1）|a|=|||a|；

   （2）当>0时，a的方向与向量a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反.

2． 特别地，当=0或a=0时，a=0；当=-1时，(-1)a=-a，就是a的相反向量.

3． 实数与向量的积的运算律

设、为实数，那么

（1）(a)=( )a；（结合律）

（2）(+)a=a+a；（第一分配律）

（3）(a+b)= a+b.（第二分配律）

特别地，有

(-)a=-(a)= (-a)，(a-b）=a-b.

例1 计算：

（1）(-3)4a;

（2）3(a+b)-2(a-b)-a;

（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

解：（1）原式=(-34)a=-12a;

（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;

（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.

4. 向量共线定理

思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使b=a，那么由向量数乘的定义知：a与b共线；

反过来，已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|=|a|，那么当a与b同向时，有b=a，当a与b反向时，有b=-a.

向量共线定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使

b=a.

例2 已知任意两个非零向量a、b，且=a+b，=a+2b , =a+3b，判断A、B、C三点之间的位置关系.

解：因为=a+2b-(a+b)=b，

        =a+3b-(a+b)=2b，

于是，所以A、B、C三点共线.

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有 (1a2b)= 1a2b.

例3 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a、b表示、、、.

解：=a+b，=a-b,

    =(a+b)=a-b 

        (a-b)= a-b;

=a+b;

=-a+b.

三、概念巩固与加深

练习1：课本P100 1、2、3、4

练习2：设a、b是两个不平行的向量，且x(2a+b)+y(3a-2b)=7a , x,yR，则x=____，y=_____. (x=2,y=1)

练习3：设是中线，求证：.

证明：因为，

所以

因为是中线，所以0，

因而，所以.

四、小结与作业

1． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向间的关系；

2． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；

3． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；

4． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量是否共线.

布置作业：

习题2.2 A组5、9、10、11、12、13