四年级奥数详解答案 第23讲 页码问题

 第二十三讲  页码问题

一、知识概要

    页码是指书本每一页（面）上所标注的数目。（这里的“页”不是指书中的一张纸，而是指一张纸的一面）。页码问题主要是研究编一本书的页码，一共需要多少个数码，以及知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书页数。典型的页码问题有如下三类（最基本的）：

（1）算页码中所用数字个数的和，或是根据已知的页码中所用数字个数的和来求页码。

（2）计算页码中某个数字出现的项数。

（3）计算页码中所有数字的和。

    解决页码问题的基本方法是：分段（或分类或分组）计算。页码个数与组成页码的数码个数之间的关系，如下表所示。

1、 一本故事书共180页，需多少个数码编页码？

解：数码是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字，页码就是由每页上由数码组成

的数目。所以，1～9页有9个数码；10—99页有180个数码；100～180页有81×3=243

（个）数码。一共有9＋180＋243=432（个）

2、 有一本辞典，所编页码共用了3401个数码，这本辞典一共有________页。

解：①1～9页用9个数码；10—99页用了180个数码；100～999用了2700个数码；则1～

999页共用数码9＋180＋2700=28（个）。②1000～？页共用数码（3401－28）=512

（个）；则512÷4=128（页）。故这本辞典共有999＋128=1127（页）

3、 一本漫画共121页，在这本书的页码中数字一共出现了_______次。

解：（分类计算）①在个位上，1出现13次（即1，11，21……101，111，121）；②在十位

上，1出现20次（即10，11，12……19；110，111，112……119）；③在百位上，1出

现22次（即100，101，102，……121）。综合①②③可知，1在书的页码出现（13

＋20＋22）=55（次）。

4、 一本书共200页，求页码中全部数字的和。（      ）

解：（分组计算）将0～199分为100组，即0和199，1和198，2和197，……98和101，

99和100.这样，每组的4个数字之和都是19，100组数字之和是19×100=1900，再加

上“200”这三数之和为2，故200页中全部数字之和为1900＋2=1902。

5、 一本书的页码从1～120页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了，

    结果所得的和是7200，这个被漏加的页码是几？

解：因为1～120累加起来是（1＋120）×120÷2=7260，而因漏加页码结果是7200，所以

7260＋7200=60（页），这60页即为漏加页码。

6、 一本书共有139页，求页码中全部数字的和。（      ）

解：（分段/分组计算），0～99为一段；100～139为一段。第一段（0～99），可分为（0，99），

   （1，98）……（49，50）共50组；∵每组数字之和为18，∴18×50=900（50组之和）。

第二段（100～139），可分为（100，139），（101，138），……（119，120），共20组，∵每组数字之和为14，∴20组之和为14×20=280。综合上述情况，可得页码中全部数字的和为900＋280=1180。

7、 一本字典共有1235页，求页码中全部数字的和。（     ）

解：（分段、分组计算），把1～1236分为2段后再分组计算。第一段（0～999）分为500

组，即（0，999），（1，998），（2，997），……（499，500）；∵每组数字和为27，

∴500组数字之和为27×500=13500

第二段（1000～1239）分为120组，即（1000，1239），（1001，1238），……（1119，1120）；∵每组数字之和是16，∴120组数字之和为16×120=1920。

因为1236～1239页码中的数字之和为（1＋2＋3）×4＋6＋7＋8＋9=54，在这二段中多计算了，所以，综合上述情况，这本字典页码中全部数字之和为13500＋1920－54=15366。

三、练习巩固与拓展

1、 一本书共有340页，在这本书的页码用了_________个数字。

2、 一本科普读物，在排牌时共用了972个数码，这本书共有_________页。

3、 一本书有256页，在这本书页码中，数字2和0各出现了多少次？

4、 一本数学书共有268页，这本书排牌共需多少个数码？

5、 有一本书，数字“6在页码中出现了23次，这本书最少有_________页。

6、 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13……

    在这个大数的左起500位上的数字是_________。

7、 一本书的页码从1至200，共有200页。在把这本书的各每页页码累加起来时，有一个

   页码被错误地多加了一次，结果所得的和为20195。求这个被多加了一次的页码是_____。

8、 有一本80页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，结果能得到偶数吗？

    为什么？

9、 有一本96页的书，中间缺了一张，小丽将残书的页码相加，得到4741。小丽的计算正

    确吗？为什么？

10、一本书的页码中，一共用了60个0，这本书有_________页。

11、在一本书中，数码1一共出现了145次，这本书有_________页。

12、一本书有197页，求这本书页码中所有数字的和。

13、一本书有169页，这本书页码中所有数字的和是_________。

14、一本辞典有1255页，这本书页码中所有数字的和是_________。

15、把一本书的页码，从10开始，按照从小到大的顺序依次排列，写成一个1000位数，即

    10 11 12 13 14 15……，这个数的个位上的数字是_________。

16、一本书有500页，在这本书的500个页码中，不含数字0和1的页码有多少个？

第二十三讲 <练习巩固与拓展>答案

1、解：1×9＋2×（99－9）＋3×（340－99）

   答：共用了912个数字。

2、解：1×9＋2×90=1（个）

       99＋（972－1）÷3

       =99＋783÷3

       =360（页）

   答：这本书有360页。

3、解：256÷10=25……6

      （1）（25＋1）＋10×3＋57=113（次）

      （2）25＋10×2=45（次）

   答：数字2出现了113次，数字0出现了45次。

4、解：1×9＋2×90＋3×（268－100＋1）

       =9＋180＋507

       =696（个）

   答：这本书排版共需696个数码。

5、解：提示：如果是100页，那么数字“6”在个位出现100÷10=10（次），在十位上出现

100÷100×10=10（次）。而题中已知数字“6”出现了23次。所以再往下数106，

116，126，数字“6”又出现了3次，共为23次，又因为题中要求这本书最少有多

少页，由此可得最少页数为126页。

6、解：提示:这道题类似于将500个数码排成多少页的页码。因为（500－1）÷3=103……

2，所以500个数码排列到99＋103=202（页）还余两个码，按顺序排下去应是第

203页，余数是2，即为203页的第2个数码0。

所以这道题左起第500位上的数字是0。

7、解：（1＋200）×200÷2

       所以，被多加了一次的页码是95。

8、解：不得到偶数。

因为这本书中间缺了一张，一张上写有两个页码，而这两个页码又是相邻的自然数，

所以缺的这两个页码的和为奇数，又因为一本80页的书将有页码加起来的所得的

和是偶数，那么偶数－奇数=奇数。所以残书的页码相加所得的和不能是偶数。

9、解：小丽的计算是错误的。

因为96页的书所有页码数之和为：

1＋2＋……＋95＋96

=（1＋96）×96÷2=4656

按照小丽的计算，中间缺的一张上两个码的和应该是4656－4571=85。这两个页码

应该是42页和43页，而我们知道按照印刷的规定，书的正文从第1页起，都是第

1页在正面，第2页在反面……由此可得任何一张上的两个数码都是奇数在前，偶

数在后。而小丽计算出的缺42页和43页都是偶数在前，奇数在后，所以我们可小

丽的计算是错误的。

10、解：先算出300页书的页码中出现的0个数。

        从301页至309页0正好用了9个，而310页又用了1个0。

        所以，这本书有209页。

11、解：先算出200页书的页码中出现1的次数。

        从201页至212页,1正好出现5次,而213页又出现了1次，所以这本书有212页。

12、解：可将0至199分组,即(0，199)，（1，198）（2，197）……（99，100），共100组。

       （1＋9＋9）×100－[（1＋9）×2＋8＋9]

        =1900－37

        =1863

13、解：应按0～99和100～169分组。

       （9＋9）×50＋（1＋1＋6＋9）×35

        =900＋595

        =1495

14、解：应按0～999和1000～1259分组。

       （9＋9＋9）×500＋（1＋1＋2＋5＋9）×130－[（1＋2＋5）×4＋6＋7＋8＋9]

        =13500＋2340－62

        =15778

15、解：（1000－180）÷3=273……1

        因为余数是1，所以这个数的个位上的数字是3。

16、解：采用分段计算的方法算出500个页码中，不含数字0和1的个数。

            这样就有90－10－16=（个）

（3）100～500：应去掉100～199的100个，200～299的10×2＋2×8=36（个），

     300～399的39（个）。这样就有401－100－36×3－1=192（个）。

            所以500个页码中，不含数字0和1的个数是：8＋＋192=2（个）