初中与高中数学的衔接

教学内容：

了解初中数学和高中数学衔接和高中阶段必备的初中知识技能：

数和式的运算、因式分解与配方法、一元二次方程与韦达定理、二元二次方程组、二次函数的最值问题、和不等式。

重点、难点：

了解初中数学与高中数学的区别；理解、掌握高中阶段必备的初中知识技能。

教学具体内容：

一、高中数学与初中数学的简单对比：

高中数学内容部分是在初中数学的基础上提高要求，努力揭示数学的本质，如函数是建立在集合的基础上进一步的学习，更加抽象；并增加了一些内容，如集合、立体几何、向量、平面解析几何、导数、微积分与定积分等等。从内容的量上，高中阶段比初中有长足增加；内容难度和思维层次当然更进一层。

二、高中阶段必备的初中知识技能

（一）数和式的运算：乘法公式、根式和分式

乘法公式: 【公式1】

【公式2】(立方和公式)

【公式3】(立方差公式)

【例1】已知，求的值．

解：    

原式=

说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

练习1、设，求的值．

解： 

2、化简

解：原式=

（二）因式分解与配方法

因式分解的方法：公式法(立方和、立方差公式)、分组分解法、十字相乘法和其他方法：配方法和拆、添项法。

    【例2】分解因式

解： 

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验。还可用十字相乘法。

练习3、分解因式

解： 

（三）一元二次方程与韦达定理

1、一元二次方程的实数根个数的判断式和求根公式

(1) 当时，方程有两个不相等的实数根：；

(2) 当时，方程有两个相等的实数根： 

(3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：由十六世纪的法国数学家韦达发现。

定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

【例3】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．

(1) 方程两实根的积为5；      课后思考1：(2) 方程的两实根满足．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．

解：(1) ∵方程两实根的积为5

    ∴ 

    所以，当时，方程两实根的积为5．

    (2) 由得知：

        ①当时，，所以方程有两相等实数根，故；

        ②当时，，由于

          ，故不合题意，舍去．

    综上可得，时，方程的两实根满足．

说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．

练习4、若是方程的两个根，试求下列各式的值：

    (1)；    (2)；    (3)；        (4)．

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．

解：由题意，根据根与系数的关系得： 

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

（四）二元二次方程组

【例4】解方程组

分析：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．

解：(1)得： 

    代入(1)得：．

    分别代入(3)得：．

    ∴ 原方程组的解是：．

说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．

练习5、解方程组

分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去．

解：由(1)得：   (3)

    将(3)代入(2)得：，解得： 

    把代入(3)得：；把代入(3)得：．

    ∴原方程组的解是：．

（五）二次函数的最值问题

【例6】当时，求函数的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值． 

解：作出函数的图象．当时，，当时，．

练习6、当时，求函数的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当时，，当时，．

课后思考2、当时，求函数的最小值(其中为常数)．

分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数的对称轴为．画出其草图．

(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：    当时，；

(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：

    当时，；

(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：

    当时，．

综上所述： 

（六）不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的、简单分式不等式、含绝对值号不等式的解法          

【例7】（1）求关于的不等式的解．

（2）    ；（3）解不等式；（4）。

解：（1）原不等式可化为： 

    (1) 当时，，不等式的解为；

    (2) 当时，．

        ①时，不等式的解为；

        ②时，不等式的解为；

        ③时，不等式的解为全体实数．

    (3) 当时，不等式无解．

综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．

（2）不等式可化为        ∴ 不等式的解是

（3）解：原不等式可化为：

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

      (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

课堂总结：

一、要求了解高中数学与初中数学的简单对比；

二、要求理解和掌握高中阶段必备的初中知识技能。