2011届高考数学复习好题精选 正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

题组一	正、余弦定理的简单应用

1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝                                              (　　)

A．2      B．4＋2        C．4－2       D.－

解析：如图所示．

在△ABC中，由正弦定理得

=4，

∴b=2.

答案：A

2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．

解析：由正弦定理得＝.

即＝.∴＝2.

∵△ABC是锐角三角形，

∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜.[来源:学科网]

由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．

答案：2　(，)

3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.

解：由余弦定理得[来源:学科网ZXXK]

a2－c2＝b2－2bccosA.

又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，

sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，

sin(A＋C)＝4cosAsinC，

sinB＝4sinCcosA.

由正弦定理得sinB＝sinC，

故b＝4ccosA.②

由①、②解得b＝4.[来源:学。科。网]

题组二	利用正、余弦定理判断三角形的形状

4.(2010·天津模拟)在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为                                                      (　　)

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形[来源:学科网]

D．等腰直角三角形

解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，

∴＝，

∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，

∴△ABC为直角三角形．

答案：B

5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是                  (　　)

A．直角三角形                    B．等腰三角形

C．等腰直角三角形                D．正三角形

解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，

即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．

由2sinAcosB＝sinC，

得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.

又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.

所以△ABC是等腰三角形．

法二：利用正弦定理和余弦定理

2sinAcosB＝sinC可化为[来源:学科网]

2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，

即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．[来源:Z_xx_k.Com]

答案：B

题组三	三角形面积公式的应用

6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于             (　　)

A.        B.     C.或         D.或

解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，

∴C＝或，A＝或，∴S＝或.

答案：D[来源:学科网]

7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝                          (　　)

A.       B.     C.        D. 

解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.

答案：B

8．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若c＝1，求a的值．[来源:Z#xx#k.Com]

解：(1)因为cos＝，

所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.

又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.

因此S△ABC＝bcsinA＝2.

(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.

题组四	正、余弦定理的综合应用

9.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是          (　　)

A．5       B．6      C．7       D．8

解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，

得10＝bcsin60°，得bc＝40.

又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，[来源:学科网ZXXK]

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°

＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.

答案：C

10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为                                                           (　　)

A．60°        B．75°      C．90°          D．115°

解析：不妨设a为最大边．由题意，

＝＝，

即＝，

∴＝，

(3－)sinA＝(3＋)cosA，

∴tanA＝2＋，∴A＝75°.

答案：B

(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是                           (　　)

A．(1,2)    B．(1，)    C．(，2)     D．(，)

解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，

∴∴＜B＜，

∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，

＝＝2cosB∈(，)．

答案：D

11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.

解析：∵m⊥n，∴ cosA－sinA＝0，

∴tanA＝，∴A＝.

∵acosB＋bcosA＝csinC，

∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，

∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.

∴C＝，∴B＝.

答案：

12．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝

(1)判断△ABC的性状；

(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．

解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，

∴B＝2C，且B＋2C＝π，

若B＝2C，＜C＜，

∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；

∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．

(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，

∴cosB＝(∵a＝c)，

而cosB＝－cos2C，＜C＜，

∴＜cosB＜1，

∴1＜a2＜，

又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．

(理)(2010·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为.

(1)求C的大小；

(2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值．

解：(1)m·n＝cos2－sin2＝cosC，

又m·n＝|m||n|cos＝，

故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝.

(2)S＝absinC＝absin＝ab，

又已知S＝，故ab＝，∴ab＝6.

∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，

∴＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab.

∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝，

∴a＋b＝.