数学建模通识课期末试题解答

姓名:XX

学号：XXXXXX

学院：信息工程学院

院系班级：自动化xxx班

2014年6月4日星期三

1: 我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。    

现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下：

（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。

（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。 

（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。

该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。

招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。

（1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案；

（2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；

表１：招聘公务员笔试成绩，专家面 试评分及个人志愿 　　　    

应聘

用人

1、    数据整理

面试环节采用等级评分，不便于分析，给A，B，C，D四个等级分别赋值4、3、2、1，同时，用人部门的基本情况主要用于应聘者参考选择申报志愿，在以下求解中可以忽略，重新整理数据得新表格：

表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿

应聘

人员i    笔试

成绩

ai    申报类别志愿    专家组对应聘者特长的等级评分bi

            知识面bi1    理解能力bi2    应变能力bi3    表达能力bi4

人员1    290    （2）    （3）    4    4    3    3

人员2    288    （3）    （1）    4    3    4    2

人员3    288    （1）    （2）    3    4    1    2

人员4    285    （4）    （3）    4    3    3    3

人员5    283    （3）    （2）    3    4    3    2

人员6    283    （3）    （4）    3    1    4    3

人员7    280    （4）    （1）    4    3    2    3

人员8    280    （2）    （4）    3    4    4    2

人员9    280    （1）    （3）    3    3    4    3

人员10    280    （3）    （1）    1    3    4    2

人员11    278    （4）    （1）    1    2    3    4

人员12    277    （3）    （4）    4    3    2    4

人员13    275    （2）    （1）    3    2    1    4

人员14    275    （1）    （3）    1    3    4    3

人员15    274    （1）    （4）    4    3    2    3

人员16    273    （4）    （1）    3    4    3    2

表 2:　用人部门对公务员的期望要求

用人

部门j    工作

类别    各部门对公务员特长的希望达到的要求bj

        知识面bj1    理解能力bj2    应变能力bj3    表达能力

bj4

部门1    （1）    3    4    2    4

部门2    （2）    4    3    3    2

部门3    （2）                

部门4    （3）    2    2    4    4

部门5    （3）                

部门6    （4）    2    3    3    4

部门7    （4）                

2、结合每个应聘者的笔试，面试成绩及各部门对公务员的能力期望确定系数矩阵C：

由上表可以得到笔试成绩矩阵ai，面试成绩矩阵bi，用人部门要求矩阵bj，设Cij为矩阵第i行第j列元素，代表第i个公务员对应于第j个部门的综合得分，结合ai，bi，bj三个矩阵求解矩阵C，用人部门对应聘者的特长要求在笔试成绩部分无法体现， 的值应该包括考虑用人部门要求影响的面试成绩与笔试成绩两部分。j部门k项能力的期望分越高代表这项能力在该部门越被看重，所以将bj看成bi矩阵的权重矩阵，取面试成绩矩阵与用人部门要求矩阵相乘所得矩阵、笔试成绩矩阵分别乘以各自的权重在相加所得矩阵作为系数矩阵：

即令 ，

有 ;k=1、2、3、4， 、 >0为根据实际情况设定的权数，这里暂取 ,可以得到系数矩阵如下：

应聘    进入各部门的面试得分Cij

人员    部门1    部门2    部门3    部门4    部门5    部门6    部门7

人员1    75    72    72    69    69    70    70

人员2    68.8    69.8    69.8    66.8    66.8    65.8    65.8

人员3    63.8    59.8    59.8    54.8    54.8    57.8    57.8

人员4    70.5    68.5    68.5    66.5    66.5    66.5    66.5

人员5    67.3    65.3    65.3    62.3    62.3    63.3    63.3

人员6    61.3    61.3    61.3    .3    .3    61.3    61.3

人员7    68    65    65    62    62    63    63

人员8    69    68    68    66    66    66    66

人员9    69    67    67    68    68    67    67

人员10    59    57    57    60    60    59    59

人员11    60.8    54.8    54.8    61.8    61.8    60.8    60.8

人员12    71.7    66.7    66.7    65.7    65.7    66.7    66.7

人员13    62.5    56.5    56.5    57.5    57.5    58.5    58.5

人员14    62.5    58.5    58.5    63.5    63.5    62.5    62.5

人员15    67.4    .4    .4    61.4    61.4    62.4    62.4

人员16    73.3    70.3    70.3    67.3    67.3    68.3    68.3

3、用 表示决策变量，依题意可建立0-1整数规划模型：

问题就转化为求下面的优化模型：

利用WinSQB求解：增设虚部门8，取 ,得：

应聘    进入各部门的面试得分Cij

人员    部门1    部门2    部门3    部门4    部门5    部门6    部门7    部门8

人员1    75    72    72    69    69    70    70    69

人员2    68.8    69.8    69.8    66.8    66.8    65.8    65.8    65.8

人员3    63.8    59.8    59.8    54.8    54.8    57.8    57.8    54.8

人员4    70.5    68.5    68.5    66.5    66.5    66.5    66.5    66.5

人员5    67.3    65.3    65.3    62.3    62.3    63.3    63.3    62.3

人员6    61.3    61.3    61.3    .3    .3    61.3    61.3    61.3

人员7    68    65    65    62    62    63    63    62

人员8    69    68    68    66    66    66    66    66

人员9    69    67    67    68    68    67    67    67

人员10    59    57    57    60    60    59    59    57

人员11    60.8    54.8    54.8    61.8    61.8    60.8    60.8    54.8

人员12    71.7    66.7    66.7    65.7    65.7    66.7    66.7    65.7

人员13    62.5    56.5    56.5    57.5    57.5    58.5    58.5    56.5

人员14    62.5    58.5    58.5    63.5    63.5    62.5    62.5    58.5

人员15    67.4    .4    .4    61.4    61.4    62.4    62.4    61.4

人员16    73.3    70.3    70.3    67.3    67.3    68.3    68.3    67.3

将上表系数录入Maximization (Assignment Problem)模型中得解如下：

Solution for 公务员招聘分配问题: Maximization (Assignment Problem)

From            To        Assignment/Unit Profit/Total Profit/Reduced Cost

1    Assignment 1        Assignee 7        1    70        70        0

2    Assignment 2        Assignee 3        1    69.80    69.80    0

3    Assignment 3        Unused_Supply    1    0        0        0

4    Assignment 4        Assignee 6        1    66.50    66.50    0

5    Assignment 5        Unused_Supply    1    0        0        0    

6    Assignment 6        Assignee 5        1    .30    .30    0

7    Assignment 7        Unused_Supply    1    0        0        0

8    Assignment 8        Assignee 8        1    66        66        0

9    Assignment 9        Assignee 4        1    68        68        0

10    Assignment 10     Unused_Supply    1    0        0        0

11    Assignment 11        Unused_Supply    1    0        0        0

12    Assignment 12     Assignee 1        1    71.70    71.70    0

13    Assignment 13     Unused_Supply    1    0        0        0

14    Assignment 14     Unused_Supply    1    0        0        0

15    Assignment 15    Unused_Supply    1    0        0        0

16    Assignment 16     Assignee 2        1    70.30    70.30    0

    Total    Objective    Function    Value =    546.60    

8部门为虚部门，根据第8个应聘者的能力特长，将其安排在部门1工作，即的最优分配方案为：

部门    1    2    3    4    5    6    7

应聘者    8，12    16    2    9    6    4    1

4、    考虑应聘者意愿和用人部门的希望要求的情况下进行分配。

只需在3的模型上增加照顾应聘者意愿的约束，优化模型即可，选择或放弃某个部门对于应聘者而言是个相互排斥的问题，故可采用0-1整数规划，引入应聘者意愿决策变量 对3的模型进行优化得到新模型：

设 

 代替 组成新系数矩阵，同上，增设虚部门8， 得系数矩阵如下表：

应聘     

人员    部门1    部门2    部门3    部门4    部门5    部门6    部门7    部门8

人员1    0    72    72    69    69    0    0    0

人员2    68.8    0    0    66.8    66.8    0    0    0

人员3    63.8    59.8    59.8    0    0    0    0    0

人员4    0    0    0    66.5    66.5    66.5    66.5    0

人员5    0    65.3    65.3    62.3    62.3    0    0    0

人员6    0    0    0    .3    .3    61.3    61.3    0

人员7    68    0    0    0    0    63    63    0

人员8    0    68    68    0    0    66    66    0

人员9    69    0    0    68    68    0    0    0

人员10    59    0    0    60    60    0    0    0

人员11    60.8    0    0    0    0    60.8    60.8    0

人员12    0    0    0    65.7    65.7    66.7    66.7    0

人员13    62.5    56.5    56.5    0    0    0    0    0

人员14    62.5    0    0    63.5    63.5    0    0    0

人员15    67.4    0    0    0    0    62.4    62.4    0

人员16    73.3    0    0    0    0    68.3    68.3    0

利用利用WinSQB求解：

Solution for 公务员招聘分配问题: Maximization (Assignment Problem)

From            To        Assignment|Unit Profit|Total Profit|Reduced Cost

1    Assignment 1        Assignee 3        1    72         72        0

2    Assignment 2        Assignee 5        1    66.80    66.80    0

3    Assignment 3        Unused_Supply    1    0        0        0

4    Assignment 4        Assignee 7        1    66.50    66.50    0

5    Assignment 5        Assignee 8        1    0        0        0

6    Assignment 6        Unused_Supply    1    0        0        0

7    Assignment 7        Unused_Supply    1    0        0        0

8    Assignment 8        Assignee 2        1    68        68        0

9    Assignment 9        Assignee 4        1    68        68        0

10    Assignment 10    Unused_Supply    1    0        0        0

11    Assignment 11        Unused_Supply    1    0        0        0

12    Assignment 12    Assignee 6        1    66.70    66.70    0

13    Assignment 13    Unused_Supply    1    0        0        0

14    Assignment 14    Unused_Supply    1    0        0        0

15    Assignment 15    Unused_Supply    1    0        0        0

16    Assignment 16    Assignee 1        1    73.30    73.30    0

    Total    Objective    Function    Value =    481.30    

部门8为虚部门，第5位应聘者落空，依其个人意愿会选择2、3、4、5部门中的一个，综上，综合考虑应聘者意愿和用人部门的希望要求的情况下最优分配方案为：

部门    1    2    3    4    5    6    7

应聘者    16    8    1    9    2    12    4

结合用人部门择优原则，第5位应聘者应进入部门2或3。

2:配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设

备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.  该厂

生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.  试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小

解

1. 产品每天的需求量为常数 r；

2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；

3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；

4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 

建 模 (不允许缺货的存贮模型)

设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。

 离散问题连续化

模型求解

模型分析

模型应用

c1=5000, c2=1，r=100

回答问题：T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)

3:最近在翠苑山麓发现了温泉资源，西乐旅游开发公司获得开发权，决定在此修建‘’翡翠温泉度假村‘’。该处主要的，相对集中的泉眼有12个，现在的问题是：公司想首先划定一个大致是圆形的区域，用墙围起来，围墙内包围了所有那12个泉眼，并且圆形区域越小越好。请你解决问题。、

function SolveResort

a=[1,2.0,9,4,5,6,7,5,2,8,6,7];

b=[2,2.5,4,3,4,5,4,1,6,6,7,7];

    function  y=myfun(x)

        y=x(3);

    end

    function [c,ceq]=nonlcon(x)

        c=[

            (x(1)-a(1))^2+(x(2)-b(1))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(2))^2+(x(2)-b(2))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(3))^2+(x(2)-b(3))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(4))^2+(x(2)-b(4))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(5))^2+(x(2)-b(5))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(6))^2+(x(2)-b(6))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(7))^2+(x(2)-b(7))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(8))^2+(x(2)-b(8))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(9))^2+(x(2)-b(9))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(10))^2+(x(2)-b(10))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(11))^2+(x(2)-b(11))^2-x(3)^2;

            (x(1)-a(12))^2+(x(2)-b(12))^2-x(3)^2

            ];

            ceq=[];

            end

[x,fval]=fmincon(@myfun,[3 4 5],[],[],[],[],[0 0 0],[inf inf inf],@nonlcon)

end

结果

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in

feasible directions, to within the default value of the function tolerance,

and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-06):

  lower      upper     ineqlin   ineqnonlin

                                     1

                                     3

12

x =

4.29 3.4286 4.1467

fval =

    4.1467

不过用fmincon求解的结果可能为局部最优解

4:谈谈自己对数学建模认识，及如何在把数学建模融入今后学习和工作中？

数学建模就是建立数学模型的全过程：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构, 全过程就是一个从实践到理论，在从理论回到实践的过程.

我所属的专业为信工学院电气自动化类，其最主要要求学生必须具有较强的创新能力和实际应用能力，能应用所学的数学与计算机知识解决信息技术、科学与工程计算以及社会各领域中的实际问题。而要用数学方法解决实际问题，首要和关键的一步是要将现实问题用数学语言进行翻译，将实际问题抽象、简化为一个数学结构，即数学建模。通过数学建模课程的学习和训练，可以让我真正理解所学的数学知识，提高我们的计算机应用能力，激发我的学习兴趣、培养我们初步的科研能力。更重要的是，数学建模课程可以极大的提高我们的洞察力、想象力和创造力。使我在今后的学习和工作中，面对错综复杂的实际问题，能够迅速地抓住问题的本质，逐步将问题分解、简化，最终能应用所学知识创造性地解决所面临的问题。

4 写一个 MATLAB 函数 piFun.m 来计算下列级数：

f(n) = 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...)

其中 n 为函数的输入，代表上述级数的项数，级数和 f(n) 则是函数的输出。

+++++++

clear, syms x; 

f=exp(-abs(x)).*abs(sin(x)); fint=int(f,x,-5*pi,1.7*pi), digits(), vpa(fint)

++++++

5:请写一个函数 minxy.m，其功能是由一个二维矩阵中找出小元素，用法如下：

[minValue, minIndex] = minxy(matrix)

其中 matrix 是一个二维矩阵，minValue 则是其元素的最小值，而 minIndex 是一个长度为 2 的正整数向量，代表最小值的索引。（换句话说，matrix(minIndex(1), minIndex(2)) 的

值即是 minValue。） 请测试

[minValue, minIndex] = minxy(magic(20))

所传回来的 minValue 和 minIndex 各是多少？提示 ：请尽量使用 min 命令。

clear, syms t x; f=sin(t)./t, yx=int(f,t,0,x), ezplot(yx,[0 2*pi]) fint=subs(yx,x,4.5) hold on, plot(4.5,fint,'*r') 

6:在matlab中

对以下问题，编写M文件：

(1)用起泡法对10个数由小到大排序. 即将相邻两个数比较,将小的调到前头。

(2)有一个   4*5      矩阵,编程求出其最大值及其所处的位置。

(3)编程求1到20个数阶乘之和

(4)一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高?

第一题：

a=rand(1,10);

for i=1:10

    for j=1:10-i;

if a(j)>a(j+1);

            t=a(j);

            a(j)=a(j+1);

            a(j+1)=t;

        end

    end

end

第二题

a= 10000*rand(4,5)

max=a(1:1,1:1);

hang=1;

lie=1;

for i=1:4;

for j=1:5;

x=a(i:i,j:j);

if x>max;

max=x;

hang=i;

lie=j;

end

end

end

max

hang

lie

第三题

sum=0;

for i=1:20,

part=1;

for j=1:i;

part=part*j;

end

sum=sum+part;

fprintf('part(%d)=%d.\\n',i,part);

end

fprintf('The total sum is %d.\\n',sum);

第四题

x0=100;

distance=x0;

n=1;

while n<10

n=n+1;

x0=x0/2;

distance=distance + x0;

end

alldistance=distance

last=x0/2

7; 以不同的视角观察球面x^2+y^2+z^2=r^2和圆柱面x^2+y^2=r*x所围区域

[x,y,z] = ellipsoid(0,0,0,2,2,2);

surf(x,y,z);

axis equal;

view(-30,30);

f=inline('x^2+y^2-1');

fvector=vectorize(f);

x=linspace(-1,1);

y=x;

z=2*x;

[x1,y1,z1]=meshgrid(x,y,z);

fvalues=feval(fvector,x1,y1);

isosurface(x1,y1,z1,fvalues,0);

view(-45,45);