2010届高三数学精品讲练：直线和圆的方程

一、典型例题

例1、已知定点P（6，4）与定直线 1：y=4x，过P点的直线 与 1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线 方程。

分析：

直线 是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

设Q（x0，4x0），M（m，0）

∵ Q，P，M共线

∴ kPQ=kPM

∴

解之得： 

∵ x0>0，m>0

∴ x0-1>0

∴

令x0-1=t，则t>0

   ≥40

当且仅当t=1，x0=11时，等号成立

此时Q（11，44），直线 ：x+y-10=0

评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。

例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：

   （1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。

分析：

   （1）∵ kBC=5

∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=

∴ AD所在直线方程y+1= (x-2) 

即x+5y+3=0

   （2）∵ AB中点为（3，1），kAB=2

∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0

   （3）设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。

∵ kAC=-1，kAB=2

∴

∴ k2+6k-1=0

∴ k=-3-（舍），k=-3+

∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0

评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。

例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；

   （2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。

分析：

研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。

（1）法一：从数的角度

若选用标准式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2

又2x0-y0-3=0

两方程联立得：，|PA|=

∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10

若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（）

∴

解之得： 

法二：从形的角度

AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5）

∴ 半径r=|PA|=

显然，充分利用平几知识明显降低了计算量

（2）设A关于直线x+2y=0的对称点为A’

由已知AA’为圆的弦

∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心

设圆心P（-2a，a），半径为R

则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2

又弦长， 

∴

∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+

∴ a=-7或a=-3

当a=-7时，R=；当a=-3时，R=

∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244

例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。

分析：

   （1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0

∴

（3）半径r=

 ∵

 ∴时， 

 ∴ 0   （3）设圆心P（x，y），则

消去m得：y=4(x-3)2-1

又

∴

∴ 所求轨迹方程为(x-3)2= (y+1)（）

例5、如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线 ，M为 上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。

分析：

从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。

连OQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP

同理，OA∥PQ

又OA=OQ

∴ OAPQ为菱形

∴ |PA|=|OA|=2

设P(x，y)，Q(x0，y0)，则

又x02+y02=4

∴ x2+(y-2)2=4（x≠0）

评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。

同步练习

（一）选择题

1、若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是

A、-12、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，则m值为

A、或-3      B、-3或        C、-3或3        D、或3

3、点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是

A、2             B、            C、          D、

4、过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有

A、1条           B、2条            C、3条           D、4条

5、圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=900，则C的值是

A、-3             B、3              C、          D、8

    6、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是

A、（4，6）       B、[4，6）        C、（4，6]        D、[4，6]

    7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切，则正数R等于

A、             B、           C、1             D、

8、方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆

A、关于x轴对称                     B、关于y轴对称

C、关于直线x-y=0对称               D、关于直线x+y=0对称

（二）填空题

    9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a，b），（d，e）的直线方程是___________________。

10、已知{(x，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=

3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。

11、已知x，y满足，则x-y的最大值为________，最小值为________。

12、过点A（2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。

13、已知圆：(x-1)2+y2=1，作弦OA，则OA中点的轨迹方程是__________________。

（三）解答题

14、已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程，A（-4，2），B（3，1），求点C坐标，并判断△ABC形状。

15、已知n条直线：x-y+ci=0（i=1，2，…，n），其中C1=，C116、已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线 交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值。

17、已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；（2）求过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。

18、当0参

   （一）1、D   2、C   3、C   4、C   5、A   6、A   7、B   8、D

   （二）9、3x-2y+C=0    10、2    11、6，-5    12、x+y=3或x-2y=0

         13、（x≠0）

   （三）14、C（2，4），∠C=900

         15、（1）   （2）   （3）n3

         16、（1）利用圆心到直线距离等于半径

            （2）(x-1)(y-1)= (x>1，y>1)

            （3）

         17、（1）画图    3≤b≤5

            （2）k∈（）

         18、