课题2.6 函数模型及其应用教案

备课时间 2007-10-24 上课时间：        主备：    审核：贾永亮   姓名：________

〖 点拨·导学 〗

1．学习目标：(1)、掌握函数应用题的一般解题步骤    (2)、了解函数模型的意义

2．学习重难点：把实际问题转化为函数模型。

3．学习方法：建立函数模型来解决实际问题。 

〖 探究·研讨 〗

教师点拨：

例1、某地高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山顶的温度是14.1度，山脚的温度是26度。问此山有多高？

说明：1、把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述，这种描述称数学模型。2、实际问题常常通过将问题变成数学模型问题，随着数学问题的解决，实际问题也得到解决。3，由于函数与不等式、方程有着密切的内在关系：

不等式函数y=f(x)方程

所以建立的方程、不等式及函数关系通称函数模型。此时，往往要根据实际情况加注定义域的范围。 4，用模型法解答应用题时，一般步骤是：设、列、解、答，其基本图示是：

例2. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

探索问题： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.

例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

探索问题：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

思考：已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数

（1）. 当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

（2）. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围

归纳整理：

一般的应用题的求解方法步骤：1）、合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）、用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的.

讨论：某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.    （1）说明函数是增函数还是减函数；    （2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当 N= 时，t的值.

分析略解：（1）由于＞0,λ＞0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少

（2）将N=写成=     根据对数的定义有-λt=ln

所以t=- (lnN-ln)=  (ln-lnN) 

(3)把N=代入t= (ln-lnN)得t= (ln-ln)= (ln-ln+ln2)= ln2.

 反馈练习：

1、用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架

（如图），若矩形底边长为2x，求此框架面积y与x的函数

式，并写出它的定义域.

2、要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价. 

3、已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数（1）. 当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？（2）. 如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围

4、一报刊摊点，从报社买进《晚报》价格是每份0.20元，卖出价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元退回报社在一月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

总结：解答函数应用题的一般过程是：

作业：教材P84____2,3,4