2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法(一)(含详细参)

一、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

二、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。    

例1   10．（2012•德州）已知，则a+b等于（　　）

　    A．3    B．        C．    2    D．    1

考点：    解二元一次方程组。

点评：    本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 

例2  （2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为　        　．

考点：    一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。

点评：    本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．　

例3  （2012•黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？

考点：    一次函数的应用。

例4  （2012•丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．

（1）求AC所在直线的函数解析式；

（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：    一次函数综合题。

点评：    此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．

四、中考真题演练

1．（2012•东营）若3x=4，9y=7，则3x﹣2y的值为（　　）

　    A．    B．        C．    ﹣3    D．    

2．（2012•南京）计算（a2）3÷（a2）2的结果是（　　）

　    A．a    B．    a2    C．    a3    D．    a4

3．（2012•南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）

　    A．10    B．    6    C．    5    D．    3

4．（2012•本溪）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）

　    A．13    B．    11或13    C．    11    D．    12

5．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（　　）

　    A．9    B．    ±3    C．    3    D．    5

6．（2012•广元）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　）

　    A．（0，0）             B．    

C．    D．

7． （2012•黔西南州）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　）

　    A．     B．             C．    D． 

8．（2012•黄石）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）

　    A．（，0）    B．    （1，0）    C．    （，0）    D．    （，0）

考点：    反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系。

专题：    计算题。

分析：    求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

解答：    解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，

∴A（，2），B（2，），

∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，

∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，

即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A、B的坐标代入得：，

解得：k=﹣1，b=，

∴直线AB的解析式是y=﹣x+，

当y=0时，x=，

即P（，0），

故选D．

点评：    本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．

9．（2012•兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）

　    A．130°    B．    120°    C．    110°    D．    100°

考点：    轴对称-最短路线问题。

分析：    根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

解答：    解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB=120°，

∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故选：B．

点评：    此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

10．（2012•威海）向一个图案如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（　　）

　    A．     B．    C．    1﹣    D．    

考点：    几何概率；正多边形和圆；扇形面积的计算。

分析：    根据已知假设出六边形边长为1，进而求出正六边形面积和S扇形FAB，S扇形BCD，S扇形DEF，再利用三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积，进而得出飞镖插在阴影区域的概率．

解答：    解：根据图象可以得出，O为正六边形中心，过点O作OM⊥BC，

设正六边形边长为1，根据正六边形每个内角为120°，

则S扇形FAB==，故S扇形BCD==，S扇形DEF==，

∵OC=BC=BO=1，OM⊥BC，

∴OM==

∴S△OBC=×OM×BC=××1=，

∴S正六边形面积=×6=，

∴S阴影=﹣，

∴飞镖插在阴影区域的概率为：=﹣1．

故选：A．

点评：    此题主要考查了概率公式以及正六边形面积求法和扇形面积公式等知识，根据已知得出三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积是解题关键．

11．（2012•铁岭）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为（　　）

　    A．    B．        C．        D．    

考点：    几何概率。

分析：    先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据旋转的性质求出阴影区域的面积即可．

解答：    解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，

根据旋转的性质易证阴影区域的面积=正方形面积4份中的一份，

故针头扎在阴影区域的概率为；

故选A．

点评：    此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．

12．（2012•连云港）向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（　　）

　    A．    B．        C．        D．    

考点：    几何概率。

分析：    求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．

解答：    解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，

所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．

故选C．

点评：    本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

二、填空题

13．（2012•扬州）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是　          　．

考点：    代数式求值。

专题：    计算题。

分析：    先将10﹣2a+3b2进行变形，然后将2a﹣3b2=5整体代入即可得出答案．

解答：    解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2），

又∵2a﹣3b2=5，

∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5．

故答案为：5．

点评：    此题考查了代数式求值的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握整体思想的运用．

14．（2012•黔西南州）已知﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同类项，则（n﹣m）2012=　  　．

考点：    同类项。 

专题：    计算题。

分析：    根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程求出m，n的值，再代入代数式计算即可．

解答：    解：∵﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同类项，

∴m﹣1=n，3=m+n，

解得m=2，n=1，

所以（n﹣m）2012=（1﹣2）2012=1．

故答案为：1．

点评：    本题考查了同类项的定义，注意同类项定义中的两个“相同”：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．

15．（2012•常州）已知x=y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为　     　．

考点：    完全平方公式。

分析：    根据已知条件“x=y+4”可知“x﹣y=4”；然后将所求的代数式转化为含有x﹣y的形式，将x﹣y的值代入求值即可．

解答：    解：∵x=y+4，

∴x﹣y=4，

∴x2﹣2xy+y2﹣25=（x﹣y）2﹣25=16﹣25=﹣9，

故答案是：﹣9．

点评：    本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

17．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为　       　．

考点：    完全平方公式。

专题：    计算题。

分析：    将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．

解答：    解：由题意得，x+=3，

两边平方得：x2+2+=9，

故x2+=7．

故答案为：7．

点评：    此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．

18．（2012•鄂州）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　         　．

考点：    轴对称-最短路线问题。

专题：    探究型。

分析：    过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．

解答：    解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，

∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴CE=BC•cos45°=4×=4．

故答案为：4．

点评：    本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

三、解答题

16．（2012•丽水）已知A=2x+y，B=2x﹣y，计算A2﹣B2．

考点：    完全平方公式。

分析：    把A、B两式代入，再计算完全平方公式，去括号，合并同类项即可．

解答：    解：A2﹣B2=（2x+y）2﹣（2x﹣y）2

=（4x2+4xy+y2）﹣（4x2﹣4xy+y2）

=4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy﹣y2

=8xy．

点评：    此题主要考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

20．（2012•攀枝花）先化简，再求值：，其中x满足方程：x2+x﹣6=0．

考点：    分式的化简求值；一元二次方程的解。

专题：    计算题。

分析：    将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式分解因式，然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出x满足方程的解，将满足题意的x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．

解答：    解：（x+1﹣）÷

=÷

=•

=，

∵x满足方程x2+x﹣6=0，

∴（x﹣2）（x+3）=0，

解得：x1=2，x2=﹣3，

当x=2时，原式的分母为0，故舍去；

当x=﹣3时，原式==．

点评：    此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式时，应先将多项式分解因式后再约分，此外分式的化简求值题，要先将原式化为最简再代值．本题注意根据分式的分母不为0，将x=2舍去．

23．（2012•襄阳）根据国家实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：

（1）上表中，a=　    　；b=　    　；

（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？

考点：    一次函数的应用。

分析：    （1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元，求出b的值即可；

（2）利用当x≤150时，当150＜x≤300时，当x＞300时分别求出即可；

（3）根据当居民月用电量x≤150时，0.6x≤0.62x，当居民月用电量x满足150＜x≤300时，0.65x﹣75≤0.62x，当居民月用电量x满足x＞300时，0.9x﹣82.5≤0.62x，分别得出即可．

解答：    解：（1）根据2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；

得出：a=60÷100=0.6，

居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．

则（122.5﹣0.6×150）÷（200﹣150）=0.65，

故：a=0.6；b=0.65．

（2）当x≤150时，y=0.6x．

当150＜x≤300时，y=0.65（x﹣150）+0.6×150=0.65x﹣7.5，

当x＞300时，y=0.9（x﹣300）+0.6×150+0.65×150=0.9x﹣82.5；

（3）当居民月用电量x≤150时，

0.6x≤0.62x，故x≥0，

当居民月用电量x满足150＜x≤300时，

0.65x﹣75≤0.62x，

解得：x≤250，

当居民月用电量x满足x＞300时，

0.9x﹣82.5≤0.62x，

解得：x≤294，

综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.62元．

点评：    此题主要考查了一次函数的应用以及分段函数的应用，根据自变量取值范围不同得出x的取值是解题关键．

24．（2012•天门）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，从家中出发步行前往张勤家家访．6分钟后，张勤从家出发骑车到相距1200米的药店给奶奶买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与同时到家．张勤家、家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与家之间．在此过程中设出发t（0≤t≤32）分钟后师生二人离张勤家的距离分别为S1、S2．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题：

（1）步行的速度为　           　；

（2）求S2与t之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象；

（3）张勤出发多长时间后在途中与相遇？

考点：    一次函数的应用。

分析：    （1）根据速度=，再结合图形，即可求出步行的速度；

（2）根据题意分0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32四种情况进行讨论，即可得出S2与t之间的函数关系式；

（3）由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出t的值即可；

解答：    解：（1）步行的速度为1600÷32=50米/分；

故答案为：50米/分．

（2）根据题意得：

当0≤t≤6时，S2=0，

当6＜t≤12时，S2=200t﹣1200，

当12＜t≤26时，S2=1200，

当26＜t≤32时，S2=﹣200t+00，

（3）S1=﹣50t+1600，

由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，

解得t=11.2，

可得t﹣6=11.2﹣6=5.2（分）

则张勤出发5.2分钟后在途中与相遇．

点评：    此题考查了一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题，在此题中作图的关键是联系实际的变化，确定拐点．

25．（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．

（1）求G点坐标；

（2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：    一次函数综合题。

分析：    （1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB﹣AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标；

（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式；

（3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为M、N均为动点，只有FG已经确定，所以可从此入手，按照FG为一边、FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得M点的纵坐标，再利用直线解析式求出M点的横坐标，从而求得M点的坐标．

解答：    解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1

∵四边形ABCD为矩形

∴∠B=90°

BG===

∴G点的坐标为（3，4﹣）；

（2）设直线EF的解析式是y=kx+b

在Rt△BFG中，cos∠BFG==

∴∠BFG=60°

∴∠AFE=∠EFG=60°

∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2

∴E点的坐标为（0，4﹣2）

又F点的坐标是（2，4）

∴

解得k=，b=4﹣2；

∴直线EF的解析式为y=x+4﹣2；

注：

求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；

求E点坐标方法三：在Rt△GEP中，由勾股定理得EG2=GP2+EP2，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；

求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）．

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．

过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF，

∴M1H=GB=，即yM1=．

由直线EF解析式y=x+4﹣2，求出xM1=3﹣．

∴M1（3﹣，）；

②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．

仿照与①相同的办法，可求得M2（1﹣，﹣）；

③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．

过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4﹣，所以M3的纵坐标为8﹣；

代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+．

∴M3（1+，8﹣）．

综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

点M的坐标为：M1（3﹣，），M2（1﹣，﹣），M3（1+，8﹣）．

点评：    本题考查了直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，对解题能力要求较高．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．