全等三角形全章教学案

 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

难  点

    1．问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的．

    2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

    取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．

    3．获取概念

    让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

            与       都完全相同的两个图形就是全等形．

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．

全等三角形的定义：能够      的两个三角形形叫做全等三角形．          叫对应顶点、          叫对应角、           叫对应边．

三角形ABC用符号       表示.△ABC与△DEF全等，记作                 ，读作                                 ．

 Ⅱ．导入新课

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC绕点A旋转180°得△AED．       

 议一议：各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

    （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

    启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

    观察与思考：

    寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

    （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

全等三角形的性质：①全等三角形的对应边              ，

②全等三角形的对应角               ．

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．                            

 分析：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，

思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

    解：

    总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，

∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．                               

 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，

所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：有相等元素，它们就是

对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

    （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

    （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹角是对应角．

      解：

[例3]已知如图，△ABC≌△ADE，试找出  

对应边、对应角．

 Ⅲ．课堂练习：课本P4习题11.1：3(见上页)

    Ⅳ．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课的重点内容．

找对应元素的常用方法有两种：

   （一）从运动角度看

    1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

    2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．

    3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

  （二）根据位置元素来推理

    1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.

（三）分离图形法：

把复杂图形分离成简单的图形来考察。

Ⅴ．作业

课本P5习题11.1：4(见右栏)

课本P4习题11.1：3．如图，△EFG≌△NMH,EF=2.1,EH=1.1,HN=3.3

1指出对应边、角

求MN和HG的长

课本P5习题11.1：4,△ABC≌△DEC, ∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法．

难  点

    已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

   图中相等的边是：                ，  相等的角是                  。提出问题：你能画出两个全等的三角形吗？怎样画？

   （可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

   这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．

  Ⅱ．导入新课

   1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

    2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．

    ①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

    ②三角形两内角分别为30°和50°．

    ③三角形两条边分别为4cm、6cm．

    学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果并作补充交流．

    结果展示：

    1．只给定一条边时：

    只给定一个角时：

    2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．

    可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

    给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

    归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．

    在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．这节课我们先来探索三条边的情况．

    已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

    1．作图方法：

    先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

    2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．

    3．特殊三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：

    三边         的两个三角形全等，简写为“        ”或“       ”．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

分析：要证△ABD≌△ACD，可以看这  

两个三角形的三条边是否对应相等．   

    生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的      性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

    Ⅲ．随堂练习

1.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？请写出证明过程。

2.思考：如何利用边边边公理作一个角的平分线？

  Ⅳ．课时小结

    本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一种方法：        ．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

  Ⅴ．作业

  1．教材P15--16习题11．9的变式（见右栏）．   

Ⅵ．活动与探索

如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用最少的钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？哪种好看？

如图AB=DF，AC=DE,BE=CF.

求证：∠A=∠D

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

难  点

1．怎样的两个三角形是全等三角形？                                

2．全等三角形有哪些性质？

3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定（二）

全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？                  

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝ ∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转180°，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD，  OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3．从以上实验可得到一般结论：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称     或       )

三、例题与练习

1．填空：

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是__________；还需要一个条件_________(这个条件可以证得吗？    )．

(2)如图4，已知AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：         和         ，还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？       )．

2、例1  已知：  AD∥BC，AD＝ CB，AE=CF.(图3)．

求证：△ADC≌△CBA．

分析：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移

到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(               )？怎样证明呢？

四、小  结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、作    业：                      

1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是

AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．                                                            

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：△ABE≌△CDF．

练习3：

如图，线段AB与CD的中点重合于O点，那么AB与CD平行吗？为什么？

思考题：

有两边及其中一边的对角对应相等的两个△一定全等吗？

2．三角形全等条件小结．    

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

难  点

    1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

             三个角、三个边、两边一角、两角一边．

    （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

             三种：①定义；②SSS；③SAS．

    2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

    Ⅱ．导入新课

    问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？

    1．两角和它们的夹边．

    2．两角和其中一角的对边．

    问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

    将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

    ①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．

    ②画线段A′B′，使A′B′=AB．

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，

使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

    ④射线A′D与B′E交于一点，记为C′

    即可得到△A′B′C′．

    将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

   结论：两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（     或      ）．

    思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？  

证明：

    结论：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成

        或        ）．

    [例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：AD=AE．

    [分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

     证明：在△ADC和△AEB中

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P13练习1：为测池塘两岸的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上作BC=CD，再过D作DE⊥BF，使E与A、C在一 

条直线上。测得DE的长就是AB的长，这是为什么？  

（二）补充练习：图中的两个三角形全等吗？请说明理由．

Ⅳ．课时小结

    至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

    1．全等三角形的定义

    2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）

    推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

    Ⅴ．作业(见右栏)

如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证:AC=AD

2.如图，DE=FE,FC∥AB,求证：AE=CE

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

难  点

1、判定两个三角形全等的法：       、      、      、                       

2、如图，Rt△ABC中，直角是      、        ，斜边边是            

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，         

（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC   △DEF，根据          （用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC   △DEF, 根据         （用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC    △DEF，根据          （用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC    △DEF，

根据              （用简写法）

Ⅱ．导入新课

（一）探索练习：（动手操作）：

  已知线段a ，c  (a1、按步骤作图：                                         

2、作∠MCN=∠=90°，                         

1在射线 CM上截取线段CB=a，               

③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，      

    ④连结AB

2、与同桌重叠比较，是否重合？

  3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形                     （即        ）

（二）巩固练习：

1．  如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB    △ADC，根据              

2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据              

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，

根据              

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，

根据              

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，

根据              

（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，

根据              

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（      ）

（A）两条直角边对应相等      （B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等  （D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

答：                     

理由：

  5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。

（三）提高练习：

1、判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（     ）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（     ）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（     ）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（     ）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（     ）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（     ）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（     ）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（     ）

2、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在

添加的条件后的（    ）内写出判定全等的依据。

（1）                 （         ）             A

（2）                 （         ）                            C

（3）                 （         ）

（4）                 （         ）              D         B

(四)课时小结

    至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

    1．全等三角形的定义

    2．边边边（SSS）

    3．边角边（SAS）

    4．角边角（ASA）

    5．角角边（AAS）

６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）

作业：

 1、如图AB=CD,AE⊥BC，DF⊥BC,CE=BF.求证：AE=DF   

3、如图，在中，点是的中点，在上，找出图中的  

全等三角形，并分别说明理由

2．会用尺规作一个已知角的平分线．

难  点

    问题1：三角形中有哪些重要线段？

    问题2：你能作出这些线段吗？

    Ⅱ．导入新课

    在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：      

    在∠AOB的OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：∠MOC=∠NOC．                             

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明

∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

    受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

    思考：这个方案可行吗？                             

    （学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．

将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿

AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

    要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

    ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

    看看条件够不够？AB=AD,DC=BC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC（SSS）．

    所以∠CAD=∠CAB．

    即射线AC就是∠DAB的平分线．

    作已知角的平分线的方法：

    已知：∠AOB．

    求作：∠AOB的平分线．

    作法：

    （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

    （2）分别以M、N为圆心，大于MN的一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．                                   

（3）作射线OC.

所以，射线OC即为所求．

 议一议：

    1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1/2MN的长”这个条件行吗？

    2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

    总结：

    1．去掉“大于1/2MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

    2．若分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

    3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个缺一不可．

    4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

    练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．

探索活动

按以下步骤折纸

1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。

2、在折痕（即平分线）上任意找一点C，

3、过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。

4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：OE=OD。  

证明：

Ⅲ．随堂练习（见右）         

Ⅳ．课时小结

    本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．                                      

    Ⅴ．课后作业

1、课本P22习题11．3─2（见右）

2、思考：在一节数学课上，老师要求同学们练习

一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．

课本P19练习：

作平角∠AOB的平分线OC，将OC反向延长得到直线CD。

问：直线CD与AB是什么关系？

作业：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。求证：

EB=FC

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

难  点

    拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

    分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

    Ⅱ．导入新课

    角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

    折出如图所示的折痕PD、PE．

    画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

    投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

    结论：同学乙的画法正确．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．

    问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

    [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角两边的距离相等”？ 

    已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

    由已知事项推出的事项：PD=PE．

    于是我们得角的平分线的性质：

    在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

    [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：                       

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，

所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

    由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

我们又可以得到一个性质：到角两边距离相等的点在角的平分线上．

这两个性质有什么联系吗？（已知条件和所推出的结论           ）．

    思考题：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？                               

分析：1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线

性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？

    2．比例尺为1：20000是什么意思？        

 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C

点，C点就是集贸市场所建地了．

    总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．                         

   ．例题与练习

 例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、

PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：

PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

练习：

1．课本P22练习（见右）．

    2．课本P22习题11．3─3（见前页右栏）．

    强调：条件充足时应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．

    ．课时小结

如图，OC是∠AOB的平分线,P、F在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。求证：DF=EF     

    今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有    性，随着学习的深入，与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．          

    Ⅴ．课后作业

课本习题13．3─5题．

P22习题11．3─3．

CD⊥AB,BE⊥AC,BE与CD交于O，且OB=OC.求证：

∠1=∠2

课本P22练习：

△ABC的∠B与∠C的外角的平分线相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．