六年级奥数_简单枚举法_教师讲义

一个问题中，如果有优先的几种可能的情况,往往需要将这些可能的情况全部列举出来，逐个进行讨论。这种方法就称为枚举（或穷举）

枚举时，应注意考虑要全面，不要遗漏。

枚举时，还应注意如下分类，分类的标准不同，情况也不一定相同，讨论的过程也会有差异。

例1 从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？

【分析】取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键

解 若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；

若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；

若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；

……

若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共1种取法。

因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。

说明 在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。

【思考1】从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和不大于50，共有多少种不同的取法

600种。 取法共有2+4+6+……+46+48=600.

例2 求证：若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数。

【分析】不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，按4类来讨论。

        证明 不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，设为5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（k为整数），

1n=5k+1时，n2=5（5k2+2k）+1，不是5的倍数；

2n=5k+2时，n2=5（5k2+4k）+4，不是5的倍数；

3n=5k+3时，n2=5（5k2+6k+1）+4，不是5的倍数；

4n=5k+4时，n2=5（5k2+8k+3）+1，不是5的倍数。

∴若整数n不是5的倍数，则n2不是5的倍数。

说明 本题体现了在枚举法里常见的思路：分类考查，要注意分类的科学性。

【思考2】除以4余1的两位数共有几个？

22个

令这样的数为4k+1（k为整数），只要令其值在10到99之间就可以了。则k=3,4,5…23,24。共22个。

    例3 今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。         这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？

【分析】本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。我们可以先考虑付款的数额范围，在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。

由题意，付款的最小数额为1角，最大数额为14.8元。其间1角的整数倍共有148种款额。另一方面，4角、9角，这两种数额是这些钱币无法付出的，所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元，这些数额也无法付出。上述这些付不出的数额共29种，应剔除。所以能付出的数额应是148-29=119（种）。

说明 本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。这是我们做题时的常见的策略。

【思考4】把4位数x先四舍五入到十位，所得之数再四舍五入到百位，所得之数再四舍五入到千位，恰好得到2000，则x的最小值和最大值是多少？

·最小值是1445，最大值是2444. 可以倒过来想，要是x最小，千位必为1，百位为4，十位为4，各位最小为5即可。同理可以退出最大值。

巩固练习

1.由若干个小正方体堆成大正方体,其表面涂成红色,在所有小正方体中,三面被涂红的有a个,两面被涂红的有b个,一面被涂红的有c个。那么啊a，b，c三个数中                      （   ）

A. a最大     B. b最大     C. c最大      D.哪个最大与小正方体的个数有关

D 通过举例观察，可以发现构成大正方体的小正方体的个数影响最后结论

2.A、B、C、D、E、F六支球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场，由此可知，还没有与B队比赛的球队是                                           （    ）

A. C队     B. D队     C. E队      D. F队

C 由于是单循环赛，所以每个队至多赛5场。A队已经完成了5场，则每个队均与A队比赛过。E队仅赛一场（即与A赛过），所以E队没有与B队赛过。

3．写自然数1、2、3、…、1000，一共写了＿＿个0                        （    ）

A. 90      B. 171     C. 1      D. 192

D 分类如下：仅各位是0的数共含90个0，仅十位是0的数共含81个0，个位、十位同时是0的共含18个0，个、十、百位同时是0的（仅1000）共含3个0，所以一共有90+81+18+3=192个0

4.已知x，y都有整数，且xy=6，那么适合等式的解共有＿＿8＿＿组

5.从1到10这十个自然数中每次取出两个，其和要大于10，共有＿25＿＿种不同取法

6.如图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B（只能从北向南，从西向东）有＿＿70＿＿种走法。

7. 现在有足够数量的1角、5角及1元的硬币若干，如果想用这些硬币组成价值为20元的面额，那么一共有多少种不同的组合方法？

若全用1元的，共需20个1元硬币，这时只有1种组合方法；

若用19个1元硬币，则还需2个5角硬币或者1个5角与5个1角的硬币，或10个1角的硬币，这时共有3种组合方法；

若用18个1元硬币，则还需4个5角硬币或者3个5角与5个1角的硬币，或2个5角的硬币与10个1角的硬币，或1个5角的硬币与15个1角的硬币，或20个1角的硬币，这时共有5种组合方法；

依次类推，若用17个1元硬币，则有7种组合方法；

……

若用1个1元的硬币，则有39种组合方法；

若不用1元硬币，则有41种组合方法。

于是，共有1+3+5+…+39+41=441种不同的组合方法。

8．一本数学辅导书的序言共有3页，目录共有2页，随后的正文若干页。这本书在编页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。如果我们知道这本书在编码时一共使用了1355个字码。那么这本书一共有多少页？

我们知道，一页的编码是一位数时，编码时只用一个字码；当一页的编码是两位数时，每页用两个字码；当一页的编码是三位数时，每页则用三个字码。因此，设这本书正文有x页，可得方程：3+2+9×1+90×2+（x-99）×3＝1355，解得x=486。即正文有486页，所以这本书一共有491页。