2020-2021学年芜湖市九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 以下是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中轴对称图形是

A.  B.  C.  D. 

2.如图，在扇形中，半径，，点在上，于点，于点，当点从点运动到点时，线段长度的变化情况是

A. 先变小，后变大 B. 先变大，后变小

C. 与的长度保持相等 D. 固定不变

3. 已知直角三角形的两条直角边的边长为和，则它的斜边长是

A.  B.  C. 或 D. 

4. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点顺时针旋转到位置，可得到点，再顺时针旋转到位置，可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；按此规律继续旋转，直到得到点为止，则

A.  B.  C.  D. 

5. 下列事件中，是必然事件的是

A. 内错角相等

B. 掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上

C. 人中至少有两个人的生肖相同

D. 打开电视，一定能看到三水新闻

6. 如图，已知▱的顶点，，点在轴正半轴上，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点则点的坐标为

A.  B.  C.  D. 

7. 某市从年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市年“竹文化”旅游收入约为亿元．预计“竹文化”旅游收入达到亿元，据此估计该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为

A.  B.  C.  D. 

8. 如果关于的方程有实数根，则满足条件是   

A.  B. 且 C. 且 D. 

9.如图，是的内接三角形，半径，垂足为点，连接弦，已知，则下面的结论：，其中正确的是

A. 

B. 

C. 

D. 

10. 如图，小虎在篮球场上从点出发，沿着的路径匀速跑动下列选项能刻画小虎所在位置距出发点的距离与时间的关系的大致图象是

A.  B. 

C.  D. 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 若点与关于原点成中心对称，则 ______ ．

12. 请写出一个图象在第一、第三象限的反比例函数的表达式_____________________．

13. 如果第一块草坪面积是米，第二块草坪面积是米，第三块草坪面积是米，那么它们的总面积是______ 米．

14.如图，四边形是的内接四边形，若，则______．

15. 解方程

直接开平方法              用配方法

用因式分解法            ．

16.    本题共分年，某楼盘以每平方米元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，年的均价为每平方米元．

求平均每年下调的百分率；

假设年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套平方米的住房，他持有现金万元，可以在银行贷款万元，张强的愿望能否实现？房价每平方米按照均价计算

17.    如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高，主塔之间的距离为，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式．

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分）

18.    如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，、、都在格点上，利用网格画图．

过点画的平行线，标出点；

过点画的垂线，垂足为点，标出点；

点到的距离是线段______的长度；

线段、的大小关系为：______填“”、“”或“”，理由是______．

19.    如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中，

求这个二次函数的解析式；

设该二次函数的对称轴与轴交于点，连结、，求的面积．

求反比例函数和一次函数的解析式；

求的面积

21.    如图，是的直径，、是的弦，，且，连接．

求证：与相切；

若，，求的半径长．

22.    每个学生必选且只能选一门课程班主任想要了解全班同学对哪门课程感兴趣，就在全班进行调查，将获得的数据整理绘制成如图下所示两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题．

全班共有______名学生，的值是______．

据以上信息，补全条形统计图．

扇形统计图中，“数学”所在扇形的圆心角是______度．

23.    如图，是的中线，过点作直线．

【问题】如图，过点作直线交直线于点，连结，求证：．

【探究】如图，在线段上任取一点，过点作直线交直线于点，连结、，探究四边形是哪类特殊四边形并加以证明．

【应用】在探究的条件下，设交于点若点是的中点，且的面积为，直接写出四边形的面积．

参及解析

1.答案：

解析：解：、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选：．

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.答案：

解析：解：连接，作于，如图所示： 

，，

，，

，

，

，

于点，于点，

点、分别是和的中点，

是的中位线，

；

故选：．

连接，作于，由等腰三角形的性质得出，，得出，由勾股定理求出，得出长度，根据垂径定理得出、分别是、中点，根据三角形中位线求出即可．

本题考查了三角形中位线，垂径定理，勾股定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

3.答案：

解析：解：由勾股定理可得：斜边，

故选A．

直接利用勾股定理求斜边长即可．

本题考查了勾股定理的运用．本题比较简单，解题的关键是熟记勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．

4.答案：

解析：解：由图可知，每旋转次为一个循环组依次循环，

，

为个循环组的长度第个，

，

．

故选：．

观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法．

5.答案：

解析：解：内错角相等，是随机事件，不合题意；

B.掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上，是随机事件，不合题意；

C.人中至少有两个人的生肖相同，是必然事件，符合题意；

 打开电视，一定能看到三水新闻，是随机事件，不合题意；

故选：．

直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．

此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．

6.答案：

解析：解：如图，

▱的顶点的坐标为，

，，，，

由作法得平分，

，

而，

，

，

，

，

点坐标为．

故选：．

如图，先利用勾股定理计算出，再利用基本作图和平行线的性质得到，则，从而得到点坐标．

本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．

7.答案：

解析：

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，设该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为，根据年及年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：设该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为，

根据题意得：，

解得：，不合题意，舍去．

故该市年、年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为．

故选：．

8.答案：

解析：由于的方程有实数根，那么分两种情况：当时，方程一定有实数根；当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围。本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件。

当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；

当即时，

关于的方程有实数根

，

．

所以的取值范围为。

故选D。

9.答案：

解析：解：连接，延长交于，连接、、．

是直径，

，

，

，

显然无法判定，故错误，

，

，故正确，

，

，

显然无法判断，故错误，

故选：．

连接，延长交于，连接、、根据勾股定理、圆周角定理、锐角三角函数即可一一判断；

本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．

10.答案：

解析：解：当点在半径上时，是由小变大；在圆弧上时不变，在上时有大变小．

故选：．

根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

此题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．

11.答案：

解析：解：与关于原点成中心对称，

可得：，，

解得：，，

．

故答案为：．

平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是根据这一结论求得，的值，再进一步计算．

此题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

12.答案：

解析：

此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．首先设反比例函数解析式为，再根据图象位于第一、三象限，可得，再写一个大于的反比例函数解析式即可．

解；设反比例函数解析式为，

图象位于第一、三象限，

，

可写解析式为，

故答案为．

13.答案：

解析：解：根据题意得：

．

答：这三块草坪的总面积是．

故答案为：．

把三块地的面积相加列出代数式，进一步利用提取公因式法因式分解即可得出答案．

此题考查分解因式的实际运用，注意式子特点，选择合适的方法因式分解是本题的关键．

14.答案：

解析：解：，

．

故答案为：．

先根据圆内接四边形的性质得到．

本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

15.答案：答案为：                 

解析：解：开方得：，

解得：．

移项得：，

配方得：，

开方得：，

解得：．

因式分解得：，

解得：．

方程可化为，

因式分解得：，

解得：．

16.答案： 

 能实现愿望。

解析：根据题意列一元二次方程，解出即可；

计算出年的房子费用，与比较即可。

17.答案：解：建立如图所示的平面直角坐标系：

主塔之间的距离为，

，

悬索桥两端主塔高，

，

，

设抛物线的解析式为：，

，

解得：，

该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为：．

解析：以抛物线形悬索桥的截面的最低点为原点，建立平面直角坐标系，再把已知数据代入即可求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式．

此题考查了二次函数的实际应用．经历建立直角坐标系，选取抛物线解析式的形式，求抛物线解析式，运用解析式解答题目问题，充分体现由实际问题--抛物线--实际问题，体现数学知识的运用价值．

18.答案：如图，即为所求；

如图所示，即为所求；

，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短  ．

解析：解：见答案；

见答案；

点到的距离是线段的长度，

故答案为：；

线段、的大小关系为：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，

故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

利用网格进而得出过点画的平行线；

利用网格得出过点画的垂线，交于；

利用点的之间的距离定义得出答案；

利用点到之间的距离性质得出答案．

此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格是解题关键．

19.答案：解：把，代入得，解得，

所以抛物线解析式为；

当时，，解得，，则，

点和点为对称点，

抛物线的对称轴为直线，

的面积．

解析：把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；

先解方程得，再确定对称轴得到，然后根据三角形面积公式求解．

本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．

20.答案：解：根据题意得：，

，

点的坐标为，

把点代入得：

，

解得：，

即反比例函数的解析式为，

把点代入反比例函数得：，

解得：，

即点的坐标为，

把和代入得：

，

解得：，

即一次函数的解析式为：，

把代入得：，

即点的坐标为，

，

，

即的面积为．

解析：根据，，得到关于点纵坐标的一次方程，从而求得点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式求得的值，即可求出反比例函数的解析式，把点的坐标代入反比例函数的解析式，求得，继而得到点的坐标，将点和点的坐标代入直线，求得，的值，得到一次函数的解析式，

结合所求的一次函数解析式，求出点的坐标，求出的面积即可．

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意和图象，正确找出等量关系是解题的关键．

21.答案：证明：连结．

是的直径， 

，

，

又，

，

，

，

，

即，

与相切；

解：，是的直径，

，

，

∽，

，

，

设，，则，

，

，

在中，，，

，

解得：，

的半径长为．

解析：首先连接，是的直径，易证得，又由，则可证得，由，从而求得；

由，是的直径，易证得∽，则可得，由可得：，，则，继而表示出的长，然后由勾股定理，可得，则可求得答案．

此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

22.答案：    

解析：解：总人数名，语文占，

，

故答案为：，．

数学人数人，

条形图如图所示：

数学组的圆心角．

故答案为．

根据化学的人数以及百分比求出总人数即可解决问题．

求出数学组的人数，推出条形图即可．

根据圆心角百分比，计算即可．

本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23.答案：【问题】证明：如图

，

，，

，

，

，

是的中线，

，

≌，

．

或证明四边形是平行四边形，从而得到

【探究】四边形是平行四边形．

方法一：如图，

证明：过点作交直线于点，

，

四边形是平行四边形，

，

由问题结论可得 ，

，

四边形是平行四边形．

方法二：如图，

证明：延长交直线于点，

，

，，

，

，

，

是的中线，，

，

≌，

，

四边形是平行四边形．

【应用】如图，延长交于．

由上面可知，四边形是平行四边形，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

解析：【问题】如图，过点作直线交直线于点，连结，只要证明≌即可；

【探究】如图，四边形是平行四边形，方法一，过点作交直线于点，只要证明四边形是平行四边形，推出，由问题结论可得 ，推出，推出四边形是平行四边形；方法二，如图中，延长交直线于点，只要证明≌，即可解决问题；

【应用】如图，延长交于想办法求出的面积即可解决问题；

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．