2020年安徽省合肥中考数学一模试卷解析版

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.一个由5个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看到

的平面图形是（　　）

A. B. C. D.

2.若点A（x1，-3），B（x2，1），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2

，x3的大小关系是（　　）

A. x1＜x3＜x2

B. x1＜x2＜x3

C. x2＜x3＜x1

D. x3＜x2＜x1

3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向上平移3个单位长度，再向左平移2

个单位长度，所得的抛物线的解析式是（　　）

A. y=（x+1）2+1

B. y=（x-3）2+1

C. y=（x-3）2-5

D. y=（x+1）2+2

4.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′

，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形

A′B′C′D′E′的周长比是（　　）

A. 1：2

B. 2：1

C. 1：3

D. 3：1

5.已知抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）

A. ﹣2

B. ﹣4

C. 2

D. 4

6.若函数y=与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx+b的大致图象为（　　）

A. B.

C. D.

7.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达

该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）

A.

B. C. D.

8.如图，△ABC 是等边三角形，被一矩形所截，AB 被截成三等

分，EH ∥BC ，则四边形EFGH 的面积是△ABC 的面积的（　　）

A.

B.

C.

D.

9.如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为

90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）

A.

2

B. C. πm 2

D. 2πm 2

10.如图，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点（

不与点B 、C 重合），且∠APD =60°，PD 交AB 于点D ．设

BP =x ，BD =y ，则y 关于x 的函数图象大致是（　　）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.已知，则的值为______．

12.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cos∠B=______．

13.如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展

开图（扇形）的弧长为______cm．（结果用π表示）

14.如图，CD=4，∠C=90°，点B在线段CD上，=，沿AB所在

的直线折叠△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'为腰的等

腰三角形，则线段CB的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．

（1）一次性随机抽取2张卡片，求这两张卡片上的数字之和为奇数的概率；

（2）随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率．

四、解答题（本大题共8小题，共.0分）

16.计算：（-）-1+-3tan60°-（π-）0+|1-|17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度

．

（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．

（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．

18.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平

台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

19.已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．

（Ⅰ）如图①，OB=BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；

（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB=18°，求∠FAC 的大小．

20.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的

中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC

于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

21.已知二次函数y=mx2+（1-2m）x+1-3m．

（1）当m=2时，求二次函数图象的顶点坐标；

（2）已知抛物线与x轴交于不同的点A、B．

①求m的取值范围；

②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式．22.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试

销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？

（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

23.如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的

动点，连接AM，AP，且∠DAP=2∠AMD．

（1）若∠APC=76°，则∠DAM=______；

（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为______，并进行证明；

（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD=BP+AP；

（4）如图2，当∠AMP=∠APM时，若CP=15，=时，则线段MC的长为______．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：该几何体的主视图如下：

故选：C．

根据主视图的概念求解可得．

本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

根据反比例函数的性质可以判断出x1，x2，x3的大小关系．

【解答】

解：∵反比例函数y=，

∴在每个象限内y随x的增大而减小，在第三象限内的点对应的纵坐标都小于零，在第一象限内点对应的纵坐标都大于零，

∵点A（x1，-3），B（x2，1），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，

∴x1＜x3＜x2，

故选：A．

3.【答案】A

【解析】解：抛物线y=x2-2x-1可化简为y=（x-1）2-2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，

所得的抛物线的解析式y=（x-1+2）2-2+3=（x+1）2+1；

故选A

根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．

本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．

4.【答案】A

【解析】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形

A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，

∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，

∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．

故选：A．

由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，

OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．

此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意相似多边形的周长比等于相似比．5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．

根据（-2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴是x=即可求解b，

最后代入坐标求出n.

【解答】

解：抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，

可知函数的对称轴x=1，

∴=1，

∴b=2；

∴y=-x2+2x+4，

将点（-2，n）代入函数解析式，可得n=-4；

故选B．

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．

【解答】

解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，

根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，

∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，

故选：C．

7.【答案】D

【解析】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，

∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P==，

故选：D．

随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．

8.【答案】C

【解析】解：∵AB被截成三等分，

∴△AEH∽△AFG∽△ABC，

∴=，=，

∴S△AFG：S△ABC=4：9

S△AEH：S△ABC=1：9∴S阴影部分的面积=S△ABC-S△ABC=S△ABC

故选：C．

根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，本题的关键是利用三等分点求得各相似三角形的相似比．从而求出面积比计算阴影部分的面积．

9.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．

【解答】

解：如图所示

连接AC，

∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，

∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），

∵AB2+BC2=22，

∴AB=BC=m，

∴阴影部分的面积是=（m2），

故选A．

10.【答案】C

【解析】解：∵△ABC是正三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，

∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP，

∴BP：AC=BD：PC，

∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，

∴x：4=y：（4-x），

∴y=-x2+x．

故选：C．

由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得

△BPD∽△CAP是关键．11.【答案】

【解析】解：∵，

∴7a-7b=3b，

则7a=10b，

则=．

故答案为：．

直接利用已知条件，将原式变形化简求出答案．

此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：∵tan∠A=，

∴∠A=30°，

∵∠C=90°，

∴∠B=180°-30°-90°=60°，

∴cos∠B=．

故答案为：．

直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

13.【答案】12π

【解析】解：设底面圆的半径为rcm，

由勾股定理得：r==6cm，

∴2πr=2π×6=12πcm，

故答案为：12π．

根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．

此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．

14.【答案】2或

【解析】解：当BC′=BD时，BC=BD=2．

当BC′=C′D时，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中点N，连接CN．

设BC=3k，AC=4k，AB=5k．则CM=k，CN=k，

∴MN==k，

∵∠DBC′+∠CBC′=180°，∠CAC′+∠CBC′=180°，

∴∠C′BH=∠CAC′，

∵NC=NA=BN，

∴∠NAC=∠NCA，

∴∠CNM=∠NAC+∠NCA=2∠NAC=∠CAC′，

∴∠C′BH=∠CNM，

∵∠CMN=∠BHC′=90°，

∴△CMN∽△C′HB，

∴=，

∴=，

解得k=，

∴BC=，

综上所述，BC的长为2或．

分BC′=BD，BC′=C′D两种情形分别求解即可．

本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

15.【答案】解：（1）根据题意画树状图如下：

由树状图可知这两张卡片上的数字之和为奇数的概率==；

（2）列表如下：

1234

1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）

2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）

3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）

4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）

由表知，共有16种等可能结果，数字之和等于4的有种3结果，所以两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率=．

【解析】（1）直接用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果，即可求出这两张卡片上的数字之和为奇数的概率；（2）用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果，即可求出两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16.【答案】解：原式=-4+2-3-1+-1

=-6．

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

17.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）由勾股定理可得，

∴弧AA2的长=．

【解析】（1）首先根据中心对称的性质，找出对应点的位置，再顺次连接即可；（2）先根据旋转方向，旋转角度以及旋转中心，找出对应点的位置，再顺次连接即可；（3）依据弧长计算公式，即可得到点A旋转到点A2所经过的路线长．

本题考查作图-旋转变换，关键是正确找出对应点的位置．

18.【答案】解：设BM=x米．

∵∠CDF=45°，∠CFD=90°，

∴CF=DF=x米，

∴BF=BC-CF=（4-x）米．

∴EN=DM=BF=（4-x）米．

∵AB=6米，DE=1米，BM=DF=x米，

∴AN=AB-MN-BM=（5-x）米．

在△AEN中，∠ANE=90°，∠EAN=31°，

∴EN=AN•tan31°．

即4-x=（5-x）×0.6，

∴x=2.5，

答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．

【解析】设BM=x米．由等腰直角三角形的性质知，CF=DF=x，得EN=FB=BC-CF=4-x ，AN=AB-DF-ED=5-x，则在直角三角形ANE中，有EN=AN•tan31°，建立方程求得x的值．

此题主要考查了解直角三角形的应用，本题通过设适当的参数，利用直角三角形的边角关系建立方程而求解是解题关键．

19.【答案】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵DC与⊙O相切，

∴∠OCD=90°，

∵OB=BD，

∴BC=OD=OB=BD，

∴BC=OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=∠OCB=∠COB=60°，

∴∠BCD=∠OCA=30°，

∴∠D=∠A=30°；

（Ⅱ）如图②，连接BE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AF⊥CD，

∴∠AFC=90°，

∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，

∴∠ACF=∠ABE，

∴∠FAC=∠EAB=18°，

答：∠FAC的大小为18°．

【解析】（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，根据已知条件可以证明△OBC是等边三角形，进而可得∠D和∠A的大小；

（Ⅱ）如图②，连接BE，根据AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°，由AF⊥CD，得

∠AFC=90°，再根据∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，即可求∠FAC的大小．

本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，

∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°，

∴∠B=∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，

∴AM==13，AD=12，

∵F是AM的中点，

∴AF=AM=6.5，

∵△ABM∽△EFA，

∴，

即，

∴AE=16.9，

∴DE=AE-AD=4.9．

【解析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；

（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．

本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

21.【答案】解：（1）当m=2时，y=mx2+（1-2m）x+1-3m=x2-3x-5，

函数的对称轴为直线x=-=-=，

当x=时，y=x2-3x-5=-，

故顶点坐标为（，-）；

（2）①△=b2-4ac=（1-2m）2-4m（1-3m）=（4m-1）2＞0，

故4m-1≠0，解得：m；

而y=mx2+（1-2m）x+1-3m为二次函数，故m≠0，

故m的取值范围为：m≠0且m≠；

②y=mx2+（1-2m）x+1-3m=（x-3m+1）（x+m），

令y=0，则x=3m-1或-m，

则AB=|3m-1+m|=|4m-1|，

∵3≤m≤4，

∴12≤4m-1≤15，

故AB的最大值为15，

此时m=4，

当m=4时，y=mx2+（1-2m）x+1-3m=4x2-7x-11．【解析】（1）当m=2时，y=mx2+（1-2m）x+1-3m=x2-3x-5，即可求解；

（2）①△＞0且m≠0，即可求解；②y=mx2+（1-2m）x+1-3m=（x-3m+1）（x+m），令y=0，则x=3m-1或-m，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、根的判别式、解一元二次方程等，有一定的综合性，难度较小，但易错．

22.【答案】解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润=（70-50）×[50+5×（100-70）]=4000元；

（2）由题得y=（x-50）[50+5（100-x）]=-5x2+800x-27500（x≥50）．

∵销售单价不得低于成本，

∴50≤x≤100．

（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元

∴50×[50+5（100-x）]≤7000

解得x≥82．

由（2）可知y=（x-50）[50+5（100-x）]=-5x2+800x-27500

∵抛物线的对称轴为x=80且a=-5＜0

∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．

∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，

即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．

【解析】（1）根据题意先求得当单价为70元时的销售量，然后根据利润=销售量×每件的利润求解即可；

（2）依据销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件列出函数关系式即可；

（3）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润为4480元．

本题主要考查的是二次函数的应用，依据题意列出每天的销售利润y与x的定价x的函数关系式是解题的关键．

23.【答案】38° ∠APC=2∠DAM 3

【解析】解：（1）∵AD∥CP，∠APC=76°，

∴∠DAP=104°，

∵∠DAP=2∠AMD，

∴∠AMD=52°，

又∵∠D=90°，

∴∠DAM=38°，

故答案为：38°；

（2）∠APC=2∠DAM，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AD∥BC，

∵点P是射线BC上的点，

∴AD∥CP，

∴∠DAP+∠APC=180°，

∵∠DAP=2∠AMD，

∴2∠AMD+∠APC=180°，

在Rt△AMD中，∠D=90°，

∴∠AMD=90°-∠DAM，

∴2（90°-∠DAM）+∠APC=180°，∴∠APC=2∠DAM，

故答案为：∠APC=2∠DAM；

（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF=AP，连接AF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，

∴AD∥BE，AB⊥BE，

∴∠DAM=∠E，

∵M是DC中点，

∴DM=CM，

又∵∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMC（AAS），

∴AD=CE，

∴BE=BC+CE=2AD，

∵∠APC=2∠DAM，

∴∠APC=2∠E，

∵PA=PF，

∴∠PAF=∠F，

∴∠APC=2∠F，

∴∠E=∠F，

∴AE=AF，

又∵AB⊥BE，

∴BE=BF，

又∵BF=BP+PF=BP+AP，

∴2AD=BP+AP；

（4）如图2，延长MD到点E，使DE=MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，

设AM=3x，AD=2x，则DM=DE=x，AE=AP=3x，

∵∠AMD=∠EMF，∠ADM=∠EFM=90°，

∴△ADM∽△EFM，

∴=，即=，

解得EF=x，

∴AF==x，

∵DE=MD，AD⊥CE，

∴∠AME=∠AEM，

则∠EAF=2∠AMD，

∵AD∥BC，∠DAP=2∠AMD，

∴∠APB=∠DAP=2∠AMD，

∴∠EAF=∠APB，

又∵∠EFA=∠B=90°，AE=AP，

∴△EAF≌△APB（AAS），

∴PB=AF=x，

由AD=BC得x+15=2x，

解得x=9，

∴AB==12，

∴MC=DC-DM=AB-DM=3，

故答案为：3．

（1）由AD∥CP，∠APC=76°知∠DAP=104°，根据∠DAP=2∠AMD得∠AMD=52°，结合∠D=90°可得；

（2）由AD∥CP知∠DAP+∠APC=180°，结合∠DAP=2∠AMD得2∠AMD+∠APC=180°，再结合∠D=90°知∠AMD=90°-∠DAM，即2（90°-∠DAM）+∠APC=180°，据此可得；

（3）延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF=AP，连接AF，证

△AMD≌△EMC得AD=CE，据此知BE=BC+CE=2AD，再证∠E=∠F得AE=AF，由AB⊥BE 知BE=BF，从而由BF=BP+PF=BP+AP可得；

（4）延长MD到点E，使DE=MD，连接AE，作EF⊥MA，设AM=3x，AD=2x，知DM=DE= x，AE=AP=3x，证△ADM∽△EFM得=，求得EF=x，AF=x，再证△EAF≌△APB

得PB=AF=x，再由AD=BC得x+15=2x，求得x的值，从而得出AB的长，根据

MC=DC-DM=AB-DM可得答案．

本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点．