2011届高考数学第一轮点拨复习测试题24

江苏    周宝金

数学应用问题中函数模型方面的问题占大多数，弄清它们的实际背景有助于我们提高解决实际问题的能力.

1．成本和利润问题

例1、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿平均售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

（注：市场售价与种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）

分析：这是一道需通过图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，要注意分段函数的特点.

解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

（2）设时刻的纯收益为，则由题意得

=，即

=             

① 当时，配方整理得

=

所以，当时，取得区间[0，200]上的最大值100；

② 当时，配方整理得

=

所以，当时，取得区间（200，300）上的最大值87.5  

综上，由可知，在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.                               

说明：解成本与利润问题应弄清成本的构成及利润的计算式子，而对于最值的求解还应注意函数的特点，此题要由分段函数分别求最值才能得出正确结果.

 2．有关运费问题

例2、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域.

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：这也是一道需建立函数关系求最值的问题，注意文字语言转化为数学语言.

解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

     故所求函数及其定义域为

（2）依题意知S，a，b，v 都为正数，故有    ，

当且仅当，即时等号成立.

若，则当时，全程运输成本最小；

当，当时，有

因为，且，故有    

故有，当且仅当时等号成立.

即当，全程运输成本最小.

综上知，为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.

说明：此题函数关系的建立需从题目的文字语言中寻找，而求最值又要用到求函数最值的一些方法，如不等式法、函数单调性法.

3．经济问题的一些最值问题

例3、20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜，棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表，应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？

∴且x、y满足

即，4≤x≤50， 

欲使h为最大，则x应为最小，故当x = 4（亩）时，万元，此时y = 24（亩），

故安排：1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物产值最高且每个劳力都有工作.

说明：题中显示“产值最高”的语句，属于函数类问题，应从构造有关产值的函数关系入手.

4．建筑造价最值问题

例4、某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不考虑墙高），工程造价是：（1）修1米旧墙费用是造1米新墙费用的25%；（2）拆去1米旧墙用所得的材料来建1米新墙的费用是建1米新墙费用的50%，问如何利用旧墙才能使建墙费用最低。

解：设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14－x(m)修新墙，所以设建一米新墙费用为a，则有

修旧墙的费用为

拆旧墙的费用为

建新墙的费用为

所以总费用为

                         ≥

当且仅当，即x = 12时，等式成立，

故保留12m旧墙总费用最低.

说明：了解建筑造价上的一些实际背景有助于建立该问题的函数.