2011届高考数学第一轮点拨复习测试题58

河南　　李军勇

　　在证明空间直线与平面平行时，除利用面面平行外，还有一种重要的方法就是利用线线平行．即欲证直线，可证明平面内有一条直线与平面外的直线平行．为此就要在平面内找到（或作出）直线．

　　但从哪个角度考虑才能较快地作出辅助线呢？

　　以下我们来探讨一下．

　　先看下图，若，在直线上取两点，想象从空间一点发出的光线通过两点，照到平面上，投影点分别为，连结，则直线是直线在平面上的投影．显然有（如图1，图2所示）．

这种形象化的思维，可以将大家的眼光一下子引向解题的正途．即要证，只需要象这样找到的投影，证明即可．

其中，从一点看，得到投影的方法称为中心投影法．

以一束平行光照射，得到投影的方法称为平行投影法．

以下我们来看一下这两种方法的应用．

例1　如图4，三棱锥中，分别是的重心．求证：与平面的距离相等．

分析：本题即证平面．由于从点看两点在平面内的投影分别是的中点，故宜于用中心投影法作辅助线．

证明：如图5，连结，连结并延长，交于，连结并延长交于，连结．因为，故中．从而平面，故与平面的距离相等．

例2　如图6，为异面直线，分别是的中点，过作平面，求证：平面．

分析：从下方向上看，缺少一个观察点，要从上方的点看，可从点透过平面看，当然也可以从点看．如图7，连结交平面于点，连结，易证，从而由，得．又，得．

从点透过平面看，是观察点与直线分布在平面两侧的情况，也是投影法适合的一种类型．

以下看一个平行投影法的例子．

例3　如图8，四棱锥中，平面，分别是的中点，求证：平面．

分析：从看，光线在平面上的投影点不好找．中心投影法较难解决问题．现考虑平行投影法：如图9，从两点分别引平行线与平面相交．

如图9，在平面内，作，连结，则，，故四边形是平行四边形．所以，平面．

下面这个例子，是了解了这两种方法后，从两个角度分别考虑，得出了两种方法，实现了一题多解．

例4　如图10．有公共边的两个全等矩形和不在同一个平面内．分别是对角线上的点，且．求证：平面．

分析一：（中心投影法）如图11，连结并延长交直线于，连结，则在平面内．由，知．又，，故，所以．因此，又不在平面内，所以平面．

分析二：（平行投影法）如图12，在矩形中作，交于，在矩形中作，交于，同样易证，所以平面．