初三奥数竞赛题及答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1、如果，那么的值为【       】

（A）             （B）               （C）2                （D）

解：B∵∴，，因此原式=

2、在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标（x，y）的个数为【       】

（A）10              （B）9                  （C）7                 （D）5

解：B解法一：化为

因为x、y均为整数，因此或或

分别解得或或所以共有9个整点

解法二：化为它表示以点（1,1）为圆心，为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）

3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为【       】

（A）                （B）4                 （C）                 （D）4.5

解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． 由于AC = BC，CD = CE，

．所以 △BCD≌△ACE， BD = AE．

又因为，所以．在△中，，

于是DE=，所以CD = DE = 4．

4、如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【       】

（A） 5             （B） 6              （C） 7                （D） 8

解：C∵p、q是正整数∴，∴正根为

解得∴，，，，，，

5、黑板上写有，，，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【       】

（A）2012               （B）101            （C）100             （D）99

解：C    ∵计算结果与顺序无关

∴顺次计算得：，，，……

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6、如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为        ． 

解：7在两边乘以得即

7、如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于    ．

解：如图，设的中点为，连接，则．

因为，所以，

．

．

8、设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为            .

解：1600

因此，所以，因此所以共有2012-402=1600个数

9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是         .

解：

依题意得：，所以，代入（2）得

，两边乘以a得

即化简得，两边除以得

所以另一方面：a≤b≤c，所以综合得

10、已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为           ．

解：依题意得

由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤≤100时，4的倍数共有25个

但是，，，，

，，，

，，

这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11、如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．

解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10．

由勾股定理，得．易知， 因此 CO = BO = 6． 

于是，，．设点D的坐标为．由，得．

所以 ，．解得 ．  因此D为AB的中点，点 D的坐标为． 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为．                       

设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．

12、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD.

（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

，

．

所以， CI = CD． 同理，CI = CB ．

故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，

所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．故OI是△IBD外接圆的切线．                                

（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．由，知OC⊥BD．

因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE．                                

又因为I是△ABD的内心，所以．故．   

 13、给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．

解：

14、将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．

解：当时，把分成如下两个数组：

和．

在数组中，由于，

所以其中不存在数，使得．

在数组中，由于，

所以其中不存在数，使得． 

所以，．                              

下面证明当时，满足题设条件．

不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组．          

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．

综上，满足题设条件．

所以，的最小值为．

注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．