高中数学大题规范解答-全得分系列之(七)空间向量在立体几何中的应用答题模板

利用空间向量证明空间中的线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替复杂的想象，给解决立体几何带来了鲜活的方法．此类问题多以解答题为主，难度中档偏上，主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，运算能力要求较高．

“大题规范解答——得全分”系列之(七)

空间向量在立体几何中的应用答题模板

[典例]　(2012安徽高考·满分12分)平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．

(1)证明：AA1⊥BC；

(2)求AA1的长；

(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息

―→

2．审结论，明解题方向

―→(1)证明：AA1⊥BC，

(2)求AA1的长，

(3)求二面角A－BC－A1的余弦值

3．建联系，找解题突破口

(1)证明·＝0，

(2)计算AA1＝||，

[教你准确规范解题]

(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.

由BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1.

因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1，

所以DD1⊥平面A1B1C1. (1分)

又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1. (2分)

故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz. (3分)

由题设， 可得A1D1＝2，AD＝1.

由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，

于是AD∥A1D1. (4分)

所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)，

故＝(0,3，－4)，＝(－2,0,0)，·＝0， (5分)

因此⊥，即AA1⊥BC. (6分)

(2)因为＝(0,3，－4)，

所以||＝5，即AA1＝5. (8分)

(3)设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

又因为＝(－1，－2,4)，＝(1，－2,4)， (9分)

所以 (10分)

即⇒

令z1＝1，则n1＝(0,2,1)．

又因为平面ABC⊥z轴，所以取平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)，

则cos〈n1，n2〉＝＝＝， (11分)

所以二面角A－BC－A1的余弦值为－. (12分)

[常见失分探因]

—————————————[教你一个万能模板]———————————————