地大高等数学一试卷及答案

一．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．           ;        2．           ;   

3．           ;       4．           ;   

5．           ;      

6．已知, 则           ;  

7．函数的单调增区间为           ;  

8．           ;        9．           ;      

10．微分方程 的通解是                      .      

二．单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．函数的定义域是（   ）。

A．（-1 , 1 ]         B．[ -1 , 1 ]        C．（-1 , 2 ]         D．[-1 , 2 ]

2．当时，是的（   ）。

A．低阶无穷小     B．等阶无穷小     C．同阶但不等阶无穷小    D．高阶无穷小

3．设在上连续，则的值为（   ）。

A．-1             B．0              C．1              D．2

4．函数在点（   ）。

A．连续且可导     B．连续但不可导     C．不连续但可导     D．不连续且不可导

5．下列论述正确的是（   ）。

A．驻点必是极值点                 B．极值点必是最值点  

C．可导的极值点必是驻点           D．极值点必是拐点

6．下列凑微分正确的是（   ）。

A．                B．  

C．          D．

7．设是的一个原函数，则有下面成立的是（   ）。

A．          B．                 

C．          D．

8．下列那一项不是常微分方程（   ）。

A．                B．        

C．                     D．

三．计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

1．             2．设，求

3．              4． 

5．求微分方程的通解。 

四．应用题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1．已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。

2．计算抛物线与所围成的图形的面积。

3．要制作一个容积为V的圆柱形带盖铁罐，问圆柱的高h和底半径r各为多少时，可使所用材料最少？

五．证明题（本大题共5分）

当时，.

高等数学（一）答案

一、填空题

1、

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、选择题

1-8 AD  DC  CA

三、计算题

1、    

 解： ==

===

2、设，求

  解：==

=

=

3、     

解：=  

=

=

4、 

解： 令，那么， ， 且，，故

==22= 2()=2

注意：请同学们抄答案时将答案中的改为其他照抄

5、求微分方程的通解。 

解：这是变量分离方程，变量分离，

两边积分，有，即为原方程的通解。

四、应用题

1、已知曲线满足方程，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。

        解：在方程两边关于x求导， 有

所以 ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率，故

切线方程为。

2．计算抛物线与所围成的图形的面积。

   解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。选取x为积分变量， 那么

 ==。

3、解：

五、证明题

注意：同学们在抄时选择一种就可以了

当时，.

解：解法一：利用中值定理。考虑函数，显然函数在上满足拉格朗日中值定理，所以存在， 使得

   即，因为， 所以当时，成立。

         解法二：利用函数的单调性。 考虑函数， 那么

        当，所以单调递增。从而

。命题得证。