2020-2021东城区初三数学二模试题

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．

一个．

1.

A . -1 B. 0 C. 1 D. 2

2. 在下列不等式中，解集为1x ＞-的是

A. 22x ＞

B. 22x −＞-

C. 22x ＜- D . 22x −＜

3. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为 2，点A （1，3）与⊙O 的位置关系是

A . 在⊙O 上 B. 在⊙O 内 C. 在⊙O 外

D. 不能确定 4. 下列式子中，运算正确的是

A. ()2211x x +=+

B. 248=a a a ⋅

C. ()x y x y −−=−− D . 22223a a a +=

5.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆.若⊙O 的半径为5，则半径OA ，OB 与AB 围成的扇形的面积是

A. 2π

B . 5π C. 25π6

D. 10π 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A,B 是直线y x =与双曲线4y x =

的交点, 点B 在第一象限,点C 的坐标为（6，-2）. 若直线BC 交x 轴于点D , 则点D 的横坐标为

A.2

B. 3

C. 4

D. 5

7. 多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫（SO 2）和二氧化氮（NO 2）的年平均浓度值变化趋势图．

A ．1998年至2019年，SO 2的年平均浓度值的平均数小于NO 2的年平均浓度值的平均数

B ．1998年至2019年，SO 2的年平均浓度值的中位数小于NO 2的年平均浓度值的中位数

C ．1998年至2019年，SO 2的年平均浓度值的方差小于NO 2的年平均浓度值的方差

D ．1998年至2019年，SO 2的年平均浓度值比NO 2的年平均浓度值下降得更快

8．四位同学在研究函数y =-x 2+bx +c （b ，c 是常数）时，甲同学发现当x =1时，函数有最大值；乙同学发现函数y =-x 2+bx +c 的图象与y 轴的交点为（0,-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x =3时，函数的值为0.若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是

A.甲 B . 乙 C.丙 D.丁

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 使式子21

x −有意义的x 的取值范围是 . 10. 分解因式：29mx m −= .

11. 用一个k 的值推断命题“一次函数()10y kx k =+≠中，y 随着x 的增大而增大.”是

错误的，这个值可以是k = .

12. 某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动. 第一小组的同学推荐了 “北

大红楼、脱贫攻坚、全面小康、 南湖红船、抗疫精神、致敬英雄” 六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中.组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字．．．．．的．

主题卡片的概率是 .

13. 如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，AD =BE , AC =EF , 要使△ABC ≌△EDF , 只需

添加一个条件,这个条件可以是 .

14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，0),B (5，4). 若四边形OABC 是平行四边形，

则

OABC 的周长等于 .

15．若点P 在函数,0,0x x y x x ⎧=⎨

−⎩

≥＜的图象上，且到x 轴的距离等于1，则点P 的坐标是 .

16. 数学课上，提出如下问题：

已知：如图,AB 是⊙O 的直径,射线AC 交⊙O 于C .

求作：弧BC 的中点D .

同学们分享了如下四种方案：

①如图1，连接BC ，作BC 的垂直平分线，交⊙O 于点D ．

②如图2，过点O 作AC 的平行线，交⊙O 于点D ．

③如图3，作∠BAC 的平分线，交⊙O 于点D ．

④如图4，在射线AC 上截取AE ，使AE =AB ，连接BE ，交⊙O 于点D ．

上述四种方案中，正确的方案的序号是_____ _．

三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算：()0

15tan 60.−−−︒

18. 先化简代数式 2+111

a a a +−−，再求当a 满足20a −=时，此代数式的值.

19. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，直线l 过点A. 点B 与点D 关于直线l 对称，连接

AD ,CD ．求证：∠ACD =∠ADC ．

20． 已知：如图，点C 在∠MON 的边OM 上．

求作：射线CD ，使CD ∥ON ，且点D 在∠MON 的角平分线上．

作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM ，ON 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于

12

AB 的长为半径画弧，交于点Q ； ③画射线OQ ；

④以点C 为圆心，CO 长为半径画弧，交射线OQ 于点D ；

⑤画射线CD ．

射线CD 就是所求作的射线．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

∵OD 平分∠MON ，

∴∠MOD =________．

∵OC =CD ，

∴∠MOD =________．

∴∠NOD =∠CDO ．

∴CD ∥ON （________ ）（填推理的依据）．

21. 已知关于x 的一元二次方程()()21100mx m x m −++=≠.

（1）求证：此方程总有实数根；

（2）写出一个m 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根.

22. 如图，在菱形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接AE ，交BD 于点F ．

(1)求BF ：DF 的值；

(2)若AB =2，AE =√3，求BD 的长．

23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与双曲线()0k y k x =

≠的两个交点分别为A （-3，-1），B （1，m ）.

（1）求k 和m 的值；

（2）点P 为直线l 上的动点，过点P 作平行于x 轴的直线，交双曲线()0k y k x =

≠于点Q. 当点Q 位于点P 的右侧时，求点P 的纵坐标n 的取值范围．

24. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AC 上.过点B 作直线交AC 的延长线于点D ，

使得∠CBD =∠CAB .过点A 作AE ⊥BD 于点E ，交⊙O 于点F .

（1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若AF =4，2sin 3D =

，求BE 的长．

25.中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次,对我国国民阅读

总体情况进行了综合分析.2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布.

下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息.

a.本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1.

b. 2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；

2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本.

c.2012年至2020年,未成年人的年人均图书阅读量如图2.

根据以上信息，回答问题：

（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的________；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为________本，比2019年多________本；（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，________年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；

（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高________%（结果保留整数）.

26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax =−+与y 轴交于点A ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）点B 是点A 关于对称轴的对称点，求点B 的坐标；

（3）已知点P (0,2)，Q ()1,1a +．若线段PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，

求a 的取值范围．

27．已知△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，∠ADE =∠BAC =90°，P 为AE 的中点，连

接DP ．

(1)如图1，点A , B , D 在同一条直线上，直接写出DP 与AE 的位置关系；

（2）将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C ，D ，

P 恰好在同一条直线上.

①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE =∠ACP ；

② 连接BD ，交AE 于点F ．判断线段BF 与DF 的数量关系，并证明．

28.对于平面直角坐标系xOy 中的图形W ，给出如下定义：点P 是图形W 上任意一点，若

存在点Q ，使得∠OQP 是直角，则称点Q 是图形W 的“直角点”.

（1）已知点A ()6,8，在点Q 1()0,8，Q 2()4,2−，Q 3()8,4中， ________是点

A 的“直角点”；

(2)已知点()3,4B −,()4,4C ,若点Q 是线段BC 的“直角点”，求点Q 的横坐标n 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，已知点(),0D t ，()1,0E t +，以线段DE 为边在x 轴上方作正方

形DEFG .若正方形DEFG 上的所有点均为线段BC 的“直角点”，直接写出t 的取值范围.