第五章 不定积分

参考学时  12学时

主要内容  原函数与不定积分的概念，积分基本公式。不定积分的运算法——直接积分法、换元积分法、分步积分法等积分法。几种可以积出的函数类。

重点  不定积分的积分法。

难点  换元积分法及分步积分法。

§5.1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分

1．定义   设=，则称F（X）为f(x)在I上的一个原函数。

例如因

又因

又

以上现象我

2．原函数结构问题

定理证3。不定积分的意义

定义

    有定义知

例1 求

解  因

例2  求

解   当x>0时， 

当x<0时，；

故当x≠0时

    例3 

二、不定积分的性质

。互逆性质

2．线性运算性质

对性质1与2给出证明。

三、积分基本公式，直接积分法

1．积分基本公式

课本118-119页，在讲公式时，要有简单的证明，要在学生理解的基础上，尽快掌握。

2．应用举例

例4 求下列不定积分

解

    例5 求下列积分

解

     例6 求下列不定积分

解

课后作业——课本121页

1；2、⑴⑶…..(19); 3。

§5.2换元积分法

一、第一类换元积分法（凑微分法）

定理1 设f(u)具有原函数F(u)，而可导，则有换原公式

事实上因

所以            

例1 求

解

例2  求

解    

例3  求下列积分

（1）         （2）

解 （1）原式=

   （2）原式=

例4求下列不定积分

           （！）        （2）  

（3）      （4）

（5）  （6）

解（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

（5）原式=

（6）原式=

练习 求下列不定积分

（1）   （2）  （3）  （4）

作业  习题5-2 p127

1(1)(3);2(2)(4)(6)(8)(10)(12)(14)(16).

教案二

§5-2 换元积分法

一、第二类换元积分法

定理2  设单调可导,且,又设具有原函数,则有换元公式

给出证明.

应用举例

例5  求下列不定积分

(1)           (2)        (3) 

解 (1)令    (),则

原式

因,所以  代入上式得

(2) 令,(),则

原式

回代 ： 因,所以,于是

(3) 令, ,则

原式

总结：

此题三个例题是典型的三角代换的例子,具有一般性：

当被积函数里含有时,一般令;

当被积函数里含有时,一般令

当被积函数里含有时,一般令

例6  求下列不定积分

(1)             (2) 

解  (1)令,则,于是

原式

(2)令,则,于是

原式

回代 ： 因, ,于是

总结： 例6的两个题是有关简单根式的不定积分,它的不定积分,一般是采用第二类换元积分法,通过代换化无理函数为有理函数.

练习   求下列不定积分

(1)               (2) 

扩充的积分公式

要求尽量记住以上公式，以便应用。

作业  习题5-2 p127-128

2(18)(20)(22)(24)(26)(28)(30);

§5.3分部积分法

1．分部积分公式

                      (1)

公式(1) 即为分部积分公式.

证   设在x处可导,则由

 得

                        ,  

于是

即

说明   在使用公式(1)求不定积分时,要注意u,v的选择——（1）要易求,（2）要比易求.

2．应用举例

例1  求下列不定积分

(1)            (2) 

解 (1) 

  (2) 

注： 在例1中的(1)中,若将则适用公式(1)后不能求得结果；在(2)中若将也不能求出结果.即在(1)中须令,而;在(2)中令,.否则即达不到目的,于是得以下结论:

结论1  当被积函数为幂函数与指数函数或正(余)弦函数的积时,须采用分部积分法求不定积分,且令幂函数为u.

例2  求下列不定积分

   (1)         (2) 

解  (1) 

(2) 

由例2的(1)(2)可总结如下：

结论2  若被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积时,可采用分部积分法求不定积分,一般令对数函数或反三角函数为u,否则达不到目的.

例3  求下列不定积分

    (1)          (2) 

解 (1) 

  (2) 

移项得

由例3可总结如下:

结论3  在使用分部积分公式求不定积分时,有时可能连续使用2次及2次以上才能解决;如例1中的(1);也可能连续使用2次后出现与原来相同的积分因式,可通过移项解方程得到,如例3中的(2)

综上可见,下述几种类型的积分,均可采用分部积分法,且u,的设法有规律可循:

(1),   ,   

设,其余部分为;

(2),   ,   

设,其余部分为u

(3),   

设;也可设,但一经选定,再次积分时,必须按原来的选择.

练习   求下列不定积分

(1)          (2) 

注 (1)是综合类习题——先换元再分部.

作业 习题5-3  p131

1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(13)(15);2.

教案三

§5.4种可以积出的函数类

一、有理函数的积分

有理函数的一般形式

              (1)

其中m,n为非负整数,及为常数,且, ,且假定与没有公因式.

当时,(1)式为假分式

当时,(1)式为真分式

而任何一个假分式都可以化为整式和真分式的和,例如    

于是我们只研究真分式的不定积分,为此总假设(1)式为真分式,即,一般地我们有：

                  (2)

对于(2)式应注意以下两点:

(1)分母中如果有,则分解后有下列k个部分

分式之和

(2)分母中,若有因式,其中,则分解后有下列k个部分分式之和: 

如果将一个真分式分解成若干个最简分式之和,则真分式的积分就容易求得了.所谓真分式是指以下四种形式

(1)    (2)   ()

(3)   ()     (4)   ()()

下面举例说明有理函数的不定积分

例1求

  解  分解为最简分式

其中, ,为待定常数,且求,由两种方法得到.

=  , =  (此处略)

于是  

故

例2求

  解   因

右边通分,由恒等式得, , ,所以

故

例3  求

解  

练习

求  

二、三角函数有理式的积分

    例4  求

解 令,则,

原式

例5   求

  解 令, , ,

故

原式

总结: 由以上例题可见,万能代换,原则上解决了三角函数有理式的积分问题.

三、简单无理函数的积分式(5.2换元积分法已讲过)

例6  求

解  令,则,

故

原式

作业  习题5-4  p137

1(1) (3) (5);2(2) (4);3(1) (3);4(1) (3)