高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值

第1讲　三角恒等变换与三角函数的化简、求值

高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.

真 题 感 悟

 1.(2017·江苏卷)若tan＝，则tan α＝________.

解析　法一　∵tan＝＝＝，

∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝.

法二　tan α＝tan＝＝＝.

答案　

2.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值.

解　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.

(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β± sin αsin β；

tan(α±β)＝.

(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.

2.公式的变形与应用

(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).

(2)升幂、降幂公式

1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2；sin2α＝，cos2α＝.

(3)角的拆分与组合

2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)；

α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；

α＝－＝＋等.

热点一　三角函数式的化简与求值

【例1】 (1)(2018·泰州模拟)化简：＝________.

(2)若tan α＝2tan ，则＝________.

解析　(1)原式＝＝

＝＝＝cos 2x.

(2)＝＝＝＝＝＝3.

答案　(1)cos 2x　(2)3

探究提高　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

【训练1】 (1)(2018·徐州调研)计算：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________.

(2)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________.

解析　(1)原式＝·cos 10°

＝＝＝－＝－1.

(2)由cos 2α＝sin＝sin＝2sincos

代入原式，得6sincos＝sin，

∵α∈，∴－α∈，sin≠0，

∴cos＝，∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.

答案　(1)－1　(2)－

热点二　三角函数的求值(求角)

【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷改编)若sin α＝，则cos 2α＝________.

(2)(2017·南京、盐城联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.

(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.

解析　(1)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.

(2)∵α为锐角，∴sin α＝＝.∵α，β∈，∴0＜α＋β＜π.

又∵sin(α＋β)＜sin α，∴α＋β＞，∴cos(α＋β)＝－.

cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×＝＝.

(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，

∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，

∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.

∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.

答案　(1)　(2)　(3)－

探究提高　(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；

(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.

【训练2】 (1)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.

(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于________.

解析　(1)∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3.

(2)∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，

∴cos(α－β)＝.又sin α＝，∴cos α＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.

∴β＝.

答案　(1)3　(2)

(3)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

①求sin(α＋π)的值；

②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.

解　①由角α的终边过点P得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.

②由角α的终边过点P得cos α＝－，

由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

热点三　三角恒等变换的应用

【例3】 (2018·苏州期末)已知函数f(x)＝(cos x＋sin x)2－2sin 2x.

(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；

(2)若x∈，求函数f(x)的单调递增区间.

解　(1)因为f(x)＝3cos2x＋2cos xsin x＋sin2x－2sin 2x

＝(1＋cos 2x)＋sin 2x＋(1－cos 2x)－2sin 2x

＝－sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin＋2.

所以函数f(x)的最小值是0，

此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x的取值集合为.

(2)当x∈时，2x＋∈，

令－≤2x＋≤或≤2x＋≤，得－≤x≤－或≤x≤.

所以f(x)的单调递增区间是和.

探究提高　三角恒等变换的应用策略

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.

(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.

【训练3】 已知函数f(x)＝4tan xsincos－.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

解　(1)f(x)的定义域为.

f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－

＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－

＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.

1.对于三角函数的求值，需关注：

(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；

(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；

(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.

2.对于三角恒等变换的应用问题，可以运用化归思想和整体代换思想解决问题.讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx函数的性质，可先化为y＝sin(ωx＋φ)型的函数.

一、填空题

1.计算：＝________.

解析　原式＝＝＝＝－4.

答案　－4

2.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则f(x)的最大值为________.

解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

答案　4

3.(2018·南京、盐城模拟)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________.

解析　因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，即＝－1，所以tan(α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝π.

答案　

4.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则tan β＝________.

解析　由α是第二象限角，且sin α＝，则cos α＝－＝－，

则tan α＝＝－3，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝.

答案　

5.(2018·常州期末)满足等式cos 2x－1＝3cos x(x∈[0，π])的x的值为________.

解析　由题意可得，2cos2x－3cos x－2＝0，解得cos x＝－或cos x＝2(舍去).又x∈[0，π]，故x＝.

答案　

6.(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tan α＝________.

解析　法一　因为tan＝，所以＝，

即＝，解得tan α＝.

法二　因为tan＝，所以tan α＝tan＝

＝＝.

答案　

7.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.

解析　∵α为锐角且cos＝，∴α＋∈，∴sin＝.

∴sin＝sin＝sin 2cos －cos 2sin 

＝sincos－

＝××－＝－＝.

答案　

8.(2016·苏北四市模拟)已知cos·cos＝－，α∈，则sin 2α＝________.

解析　cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，

即sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，

∴cos＝－，∴sin 2α＝sin

＝sincos －cossin ＝.

答案　

二、解答题

9.已知tan α＝2.

(1)求tan的值；

(2)求的值.

解　(1)tan＝＝＝－3.

(2)＝

＝＝＝1.

10.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.

解　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.

要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.

所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.

11.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.

(1)求cos 2α的值；

(2)求2α－β的值.

解　(1)由三角函数的定义，得cos α＝.所以cos 2α＝2cos2α－1＝.

(2)因为α∈，所以2α∈(0，π).由(1)得cos 2α＝，所以2α∈，

且sin 2α＝＝.

由三角函数的定义，得sin β＝，且β∈，所以cos β＝＝.

因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝，

且2α－β∈，所以2α－β＝.