2018-2019学年广东省深圳市八年级(下)期中数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市八年级（下）期中数学试卷

副标题

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

2.若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

3.下列结论不正确的是（　　）

A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等

B. 一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形角形全等

C. 一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

D. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等

4.观察如图的案，在下面四幅图案中，能通过左侧的图案平移得到的是（　　）

A. 

B. 

C. 

D. 

5.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）

A.  B.  C.  D. 7

6.在方程组中，若未知数x，y满足x+y≥0，则m的取值范围在数轴上表示应是（　　）

A.  B.  C.  D. 

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（　　）

A. 6

B. 

C. 

D. 3

8.某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载．租车方案共有（　　）种．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB．其中正确的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

10.如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）

A. 12cm

B. 

C. 15cm

D. 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.写出一个解为x≥1的一元一次不等式______．

12.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______度．

13.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC于E，EC的垂直平分线交DE的延长线于M，若∠FMD=40°，则∠C等于______．

14.如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE=______．

15.如图所示，函数y1=|x|和y2=kx+b的图象相交于（-1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是______．

16.如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是______．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）

17.已知x=3是关于x的不等式3x-的解，求a的取值范围．

18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

19.如图，DE∥BC，CG=GB，∠1=∠2，求证：△DGE是等腰三角形．

20.某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

	A	B
进价（元/件）	1200	1000
售价（元/件）	1380	1200

（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；

（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？

21.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； 

B、是轴对称图形，又是中心对称图形； 

C、是轴对称图形，不是中心对称图形； 

D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 

故选：B．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2.【答案】B

【解析】

解：A、两边都减2，不等号的方向不变，故A不符合题意； 

B、两边都乘以-1，不等号的方向改变，故B符合题意； 

C、x+2＞y+2＞y+1，故C不符合题意； 

D、两边都乘以 3，不等号的方向不变，故D不符合题意； 

故选：B．

根据不等式的性质求解即可．

本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．

3.【答案】A

【解析】

解：A，两个锐角对应相等的两个直角三角形，没有对应边相等，不能判定三角形全等； 

B，一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形角形，符合AAS或ASA，能判定三角形全等； 

C，一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形，符合AAS或ASA，能判定三角形全等； 

D，两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS或SSS或HL，能判定三角形全等； 

根据三角形全等的判定，正确的是B、C、D，不正确的是A． 

故选：A．

首先要明确各选项提供的已知条件，然后根据直角三角形全等的判定方法逐个验证，与之符合的是正确的，反之，是错误的，题目中选项A只有两对角对应相等，是错误的．

本题考查了直角三角形全等的判定方法；要正确应用判定三角形全等的方法，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

4.【答案】C

【解析】

解：根据平移得到的是C． 

故选：C．

根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移可直接得到答案．

本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．注意结合图形解题的思想．

5.【答案】D

【解析】

解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3； 

∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， 

∴AB=6， 

∴AP的长不能大于6． 

故选：D．

利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解．

本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6．

6.【答案】D

【解析】

解：，

两个方程相加得3x+3y=3-m，

∴x+y=，

∵x+y≥0，

∴≥0，

∴m≤3，

m在数轴上表示3为实心点的射线向左．

故选：D．

考查了二元一次方程组的求解和一元一次不等式的求解．两个方程相加得3x+3y=3-m，得到x+y=，因未知数x，y满足x+y≥0，从而得出一元一次不等式≥0，解得m的解集．然后将m的解集在数轴上表示出来．

注意一元一次不等式的求解．注意不等式左右两边同时乘以或者除以一个负数，不等号要改变．

7.【答案】A

【解析】

解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， 

∴∠CAB=30°，故AB=4， 

∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上， 

∴AB=A′B′=4，AC=A′C， 

∴∠CAA′=∠A′=30°， 

∴∠ACB′=∠B′AC=30°， 

∴AB′=B′C=2， 

∴AA′=2+4=6． 

故选：A．

利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．

此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出AB′=B′C=2是解题关键．

8.【答案】A

【解析】

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆， 

根据题意得，8x+4y=20， 

整理得，2x+y=5， 

∵x、y都是正整数， 

∴x=1时，y=3， 

x=2时，y=1， 

x=3时，y=-1（不符合题意，舍去）， 

所以，共有2种租车方案． 

故选：A．

设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据车座位数等于学生的人数列出二元一次方程，再根据x、y都是正整数求解即可．

本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．

9.【答案】A

【解析】

解：∵AD是△ABC的角平分线， 

∴∠EAD=∠CAD， 

∵CE⊥AD，∴∠AOE=∠AOC， 

∵AO=AO， 

∴△AEO≌△ACO． 

∴①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO均正确， 

④无法判断． 

故选：A．

根据角平分线的性质及CE⊥AD判断出△AEO≌△ACO即可解答．

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

10.【答案】C

【解析】

解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；

即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；

∵圆柱底面半径为cm，

∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×=4cm；

又∵圆柱高为9cm，

∴小长方形的一条边长是3cm；

根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm；

∴AC+CD+DB=15cm；

故选：C．

要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

11.【答案】x+1≥2

【解析】

解：解为x≥1的一元一次不等式有：x+1≥2，x-1≥0等． 

故答案为：x+1≥2．

根据不等式的解集，可得不等式．

本题考查了不等式的解集，注意符合条件的不等式有无数个，写一个即可．

12.【答案】15

【解析】

解：∵△ABC是等边三角形， 

∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， 

∵CG=CD， 

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， 

∵DF=DE， 

∴∠E=15°． 

故答案为：15．

根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．

本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．

13.【答案】40°

【解析】

解：∵DE为AB的垂直平分线，FM为EC的垂直平分线， 

∴DE⊥AB，FM⊥EC， 

∴∠BED+∠B=90°，∠MEF+∠FMD=90°， 

∵∠BED=∠MEF（对顶角相等）， 

∴∠FMD=∠B=40°， 

∵AB=AC， 

∴∠C=∠B=40°． 

故答案为：40°．

根据等角的余角相等求出∠FMD=∠B，再根据等边对等角的性质可得∠C=∠B，从而得解．

本题考查了线段垂直平分线的定义，等腰三角形等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．

14.【答案】50°

【解析】

解：∵△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，

∴∠BCA=180°-70°-30°=80°，AC=CE，

∴∠BCA=∠DCE=80°，

∴∠CAE=∠AEC=（180°-80°）×=50°．

故答案为：50°．

利用旋转的性质得出AC=CE，以及利用三角形内角和得出∠BCA的度数，利用等腰三角形的性质得出答案．

此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠CAE=∠AEC是解题关键．

15.【答案】x＞2或x＜-1

【解析】

解：∵由函数图象可知，当x＞2或x＜-1时，函数y1=|x|的图象落在y2=kx+b的上方， 

∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜-1． 

故答案为x＞2或x＜-1．

函数y1=|x|的图象落在y2=kx+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．

本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．

16.【答案】400

【解析】

解：如图①

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC，

∴B′O=AB，CO=AC，

∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．

又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，

第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，

第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…

依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．

故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400．

故答案为：400．

先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．

本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．

17.【答案】解：∵x=3是关于x的不等式3x-的解，

∴9-＞2，

解得a＜4．

故a的取值范围是a＜4．

【解析】

将x=3代入不等式，再求a的取值范围．

本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，根据不等式的解的定义得出9-＞2是解题的关键．

18.【答案】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（2，-4）；

（2）△A2B2C2如图所示，A2（-4，2）．

【解析】

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标； 

（2）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标．

本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

19.【答案】解：连接AG，

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠1，∠ACB=∠2．

又∵∠1=∠2，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵G为BC中点，

∴AG⊥BC．

∴AG⊥DE且平分DE，

∴DG=GE．

∴△DGE是等腰三角形．

【解析】

根据已知条件，容易得出△ADE，△ABC都是等腰三角形，则G为等腰△ABC底边BC的中点，为此连接AG，由等腰三角形的轴对称性质，得出结果

本题主要考查等腰三角形的判定与性质和平行线的知识点，解题要充分利用已知条件，联系所学结论，灵活选用解法．

20.【答案】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，

根据题意得

化简得，解之得．

答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．

（2）由于第二次A商品购进400件，获利为

（1380-1200）×400=72000（元）

从而B商品售完获利应不少于81600-72000=9600（元）

设B商品每件售价为z元，则

120（z-1000）≥9600

解之得z≥1080

所以B种商品最低售价为每件1080元．

【解析】

（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解． 

（2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价．

本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确地解不等式组是需要掌握的基本能力．

21.【答案】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等边三角形．

（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．

理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，

∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，

∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴190°-α=α-60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．

∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，

∴α-60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．

∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，

∠OAD==120°-，

∴190°-α=120°-，

解得α=140°．

综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论； 

（2）结合（1）的结论可作出判断； 

（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．

本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．