2010年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

数学(理)试题

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

（1）复数(   )

（A）        （B）    （C）     （D）

（2）函数的反函数是(   )

（A）             （B）

（C）             （D）

（3）若变量满足约束条件则的最大值为(   )

（A）1            （B）2      （C）3           （D）4

（4）如果等差数列中，，那么(   )

（A）14        （B）21        （C）28        （D）35

（5）不等式的解集为(   )

（A）              （B）

（C）             （D）

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有(   )

（A）12种       （B）18种     （C）36种   （D）54种

（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像(   )

（A）向左平移个长度单位    （B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位    （D）向右平移个长度单位

（8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则   等于(　　) 

（A）      （B）    （C）  （D）

（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(   )

（A）1              （B）        （C）2       （D）3

（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(   )

（A）            （B）32        （C）16       （D）8

（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点(   )

（A）有且只有1个                    （B）有且只有2个

（C）有且只有3个                    （D）有无数个

（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则(   )

（A）1         （B）        （C）         （D）2

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知是第二象限的角，，则         ．

（14）若的展开式中的系数是，则         ．

（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则         ．

（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离         ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，，，，求．

（18）（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：．

（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1. 

（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

（20）（本小题满分12分）    如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

   （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

   （Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．

   （Ⅰ）求C的离心率；

   （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

（22）（本小题满分12分）设函数．

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

2010年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）

数学(理)试题

答案解析:

一、选择题

（1）A 

解析：.

（2）D

解析：由y＝，得ln(x－1)＝2y－1，解得 x＝e2y－1＋1，故反函数为y＝e2x－1＋1(x∈R)．故选D。

（3）C　

解析：约束条件所对应的可行域如图． 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.

由图可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z最大．由，得，则A(1,1)．

∴zmax＝2×1＋1＝3..

（4）C　

解析：∵{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12，

∴a4＝4.

∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28. 

（5）C

解析：，利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C

（6）B

解析：标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.

（7）B 

解析：=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.

（8）B 

解析：因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以

，故选B.

（9）C

解析：本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

设底面边长为a，则高，

所以体积，

设：，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.

（10）A 

解析：，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.

（11）D

解析：直线B1D上取一点，分别作PO1，PO2，PO3垂直于B1D1，B1C，B1A于O1，O2，O3则PO1⊥平面A1C1，PO2⊥平面B1C，PO2⊥平面A1B，O1，O2，O3分别作O1N⊥A1D1，O2M⊥CC1，O3Q⊥AB，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥A1D1；PM⊥CC1；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以PO1=PO2=PO3，O1N=O2M=O3Q，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

（12）B

解析：设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13） 

解析：由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.

（14）1 

解析：展开式中的系数是.

（15）2 

解析：过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，

∴M为抛物线的焦点，∴2.

（16）3 

解析：设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， 

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）解：由

由已知得        

从而   

由正弦定理得

所以    

（18）解：（I）

所以    

   （II）当n=1时，

当时，

所以，当 

（19）解：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F， 

因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.

作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．

又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B，

连结DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD，

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．

(2)因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°，设AB＝2，则

AB1＝2，DG＝，CG＝，AC＝，

作B1H⊥A1C1，H为垂足，

因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，

故B1H⊥面AA1C1C.

又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角．

B1H＝＝，

HC1＝＝，

AC1＝＝，HK＝＝，

tan∠B1KH＝＝.

所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan.

（20）解：记A1表示事件，电流能通过

A表示事件：中至少有一个能通过电流，

B表示事件：电流能在M与N之间通过。

   （I）相互，

又

故        

   （III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互。

故

（21）解：(1)由题设知，l的方程为y＝x＋2. 

代入C的方程，并化简，得

(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0，

设B(x1，y1)、D(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝－，               ①

由M(1,3)为BD的中点知＝1，故

×＝1，即b2＝3a2，                         ②

故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.

(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，

A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，

故不妨设x1≤－a，x2≥a.

|BF|＝＝＝a－2x1，

|FD|＝＝＝2x2－a.

|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)

＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2

＝5a2＋4a＋8.

又|BF|·|FD|＝17，

故5a2＋4a＋8＝17，

解得a＝1或a＝－ (舍去)．

故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.

连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．

（22）解：(1)当x＞－1时，f(x)≥，当且仅当ex≥1＋x.令g(x)＝ex－x－1，则g(x)＝ex－1.

当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)上是增函数；

当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]上是减函数．

于是g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即ex≥x＋1.所以当x＞－1时，f(x)≥.

(2)由题设x≥0，此时f(x)≥0.

当a＜0时，若x＞－，则＜0，f(x)≤不成立；

当a≥0时，令h(x)＝axf(x)＋f(x)－x，则

f(x)≤当且仅当h(x)≤0，

h′(x)＝af(x)＋axf′(x)＋f′(x)－1＝af(x)－axf(x)＋ax－f(x)．

(ⅰ)当0≤a≤时，由(1)知x≤(x＋1)f(x)，

h′(x)≤af(x)－axf(x)＋a(x＋1)f(x)－f(x)＝(2a－1)·f(x)≤0，

h(x)在[0，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤.

(ⅱ)当a＞时，由(ⅰ)知x≥f(x)，h′(x)＝af(x)－axf(x)＋ax－f(x)

≥af(x)－axf(x)＋af(x)－f(x)＝(2a－1－ax)f(x)，

当0＜x＜时，h′(x)＞0，所以h(x)＞h(0)＝0，即f(x)＞，综上，a的取值范围是[0，]．