高三一轮复习-分类讨论在导数中的应用

一、引入

分类讨论题得分率不高，主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。

引起分类讨论的主要原因归纳一下主要由以下五种：1、由数学概念引起的分类讨论；2、由数算引起的分类讨论；3、由性质、定理、公式的引起的分类讨论；4、由图形的不确定性引起的分类讨论；5、由参数的变化引起的分类讨论。含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要用不同的求解或证明方法。而对参数的分类按什么标准进行分类讨论是我们的难点。

二、例题

例：若函数，求函数的极值点。

变式1：若函数，试讨论函数的极值存在情况。

变式2：若函数，求函数的单调区间。

变式3：若函数，求在区间[2，3]上的最小值。

三、小结：

在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。

1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论；

2）若需考虑判别式Δ，需对Δ>0、 Δ=0、 Δ<0进行分类讨论；

3）在求最值或单调区间时，由f’(x)=0解出的根， 需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。

分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”。在分类讨论时，要注意：1、分类对象确定，标准统一；2、不重复，不遗漏；3、分层次，不越级讨论。

四、课后练习

1．已知是实数，函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设为在区间上的最小值。

（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。

2.已知函数

（I）当时，求曲线在点处的切线方程； 

（II）当时，讨论的单调性. 

3.已知函数.  （Ⅰ）讨论函数的单调性； 

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

4.已知函数.

(Ⅰ)当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.。

5.已知函数，，，其中，且.

⑴当时，求函数的最大值；

⑵求函数的单调区间；

6.设函数

（I）求的单调区间

（II）求所有实数，使对恒成立。

注：e为自然对数的底数。

7.设函数。若对于，均有成立，求实数的取值范围。

8.已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．