基本不等式练习题及答案

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(　　)．

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)      B．(0，＋∞)

C．[2，＋∞)      D．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是

(　　)．

A．0      B．1      C．2      D．3

3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)．

}

      B．1       C．2       D．4

4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)．

A．1＋      B．1＋      C．3      D．4

5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．

考向一　利用基本不等式求最值

【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；

(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．

)

【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．

(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

考向二　利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.

．

%

【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

求证：＋＋≥9.

考向三　利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

考向三　利用基本不等式解实际问题

【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低

【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．

~

(1)求出f(n)的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元

【试一试】 (2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)．

A．1      B．2      C．3      D．4

双基自测

D．(2，＋∞)

答案　C

2．解析　①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案　B

【

3．解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.答案　A

4．解析　当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案　C

5．解析　∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案　－2　　

【例1】解析　(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，

∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．

(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案　(1)3＋2　(2)1

【训练1】．解析　(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3　当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，

即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，

—

∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2× ＝18，

当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，

∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.

答案　(1)3　(2)　(3)18

【例2】证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2 ＝2c；＋≥2 ＝2b；＋≥2 ＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.

【训练2】 

证明　∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

—

解析　若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是答案　

 【训练3】解析　由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 ，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案　10

【例3．解　由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5 800＝900＋5 800(0＜x≤5)，则y＝900＋5 800≥900×2＋5 800＝13 000(元)，

当且仅当x＝，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

【训练3】 解　(1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10＋n)－100n(n∈N*)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)－100n

＝1 000－80≤520(万元)．当且仅当＝，

即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．　　

【示例】．正解　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)＝1＋2＋＋≥3＋2 ＝3＋2.

当且仅当即时，＋的最小值为3＋2.

【试一试】尝试解答]　a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2 ＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝且ab＝，即a＝2b时，等号成立．答案　D