苏教版初一数学下学期期末专题《面积问题》

一．选择题（共6小题）

1．将4张长为a、宽为b（a≥b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m﹣3n＝0，则a、b满足（　　）

A．a＝b或a＝3b B．a＝b或a＝4b C．a＝b或a＝5b D．a＝b或a＝6b．

2．如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为15，且AB＝8，则△ABC中AB边上高的长为（　　）

A．3 B．6 C．9 D．无法确定

3．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，且S△ABC＝1，则S△DEF的值为（　　）

A． B． C． D．

4．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．25 B．.30 C．35 D．40

5．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′＝AB，CC′＝2BC，AA′＝3AC．若S△ABC＝1，那么S△A'B'C'是（　　）

A．15 B．16 C．17 D．18

6．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　）

A．x+y＝6 B．x2+y2＝36 C．x•y＝8 D．x﹣y＝2

二．填空题（共11小题）

7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个　   　相等的三角形．

8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝　   　．

9．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为　   　．

10．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为35，且DG＝2，则CF的长为　   　．

11．如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形△A′B′C′，若△ABC的面积为3，则△A′B′C′的面积是　   　．

12．（实验班）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S1﹣S2＝a，则S△ABC＝　   　．

13．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式为　   　．

14．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为　   　mm2．

15．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是边AD的中点，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A→D→C→B运动，最终到达点 B．若点P运动的时间为xs，那么当x＝　   　时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2．

16．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，则四边形DHOG的面积为　   　．

17．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020﹣S2019的值为　   　．

三．解答题（共9小题）

18．如图，在小正方形边长为1cm的方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．

（1）补全△A′B′C′，利用网格点和直尺画图；

（2）图中AC与A′C′的关系是：　   　；

（3）画出AB边上的高CD；

（4）画出△ABC中AB边上的中线CE；

（5）平移过程中，线段AC扫过的面积为　   　cm2．

19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　   　；

（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝　   　；

（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

20．（1）如图，试用a的代数式表示图形中阴影部分的面积；

（2）当a＝2时，计算图中阴影部分的面积．

21．如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．

（1）求证：∠AED＝∠ACB；

（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE＝9，求S△ABC．

22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝　   　时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；

（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝　   　

（3）当t＝　   　时，△BPC的面积为18．

23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？

24．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．当AB长度不变而BC变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，求a，b满足的关系式．

（1）为解决上述问题，如图3，小明设EF＝x，则可以表示出S1＝　   　，S2＝　   　；

（2）求a，b满足的关系式，写出推导过程．

25．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．

例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

（1）由图2，可得等式　   　；

（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．

（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．

（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．

①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．

②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝　   　．

26．阅读下列文字：

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，求a2+b2+c2的值；

（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．

3．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，且S△ABC＝1，则S△DEF的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．

【解答】解：连结CD，

∵点D是AG的中点，

∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC，

∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝，

∴S△BCD＝S△ABC＝，

∵点E是BD的中点，

∴S△CDE＝S△BCD＝，

∵点F是CE的中点，

∴S△DEF＝S△CDE＝．

故选：C．

4．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　）

6．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　）

A．x+y＝6 B．x2+y2＝36 C．x•y＝8 D．x﹣y＝2

【分析】设小长方形的长为x、宽为y，根据图形可得出关于x、y的二元一次方程组，由方程组即可得出A、C、D正确，此题得解．

【解答】解：设小长方形的长为x、宽为y，

根据题意得：．

A、由①可得出x+y＝6，A正确；

C、由①﹣②可得出x•y＝8，C正确；

D、由②可得出x﹣y＝2，D正确．

故选：B．

二．填空题（共11小题）

7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个　面积　相等的三角形．

【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．

【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．

8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝　1　．

【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．

【解答】解：∵BE＝CE，

∴BE＝BC，

∵S△ABC＝6，

∴S△EFD＝×4x×8＝16x；

S△ECG＝×6×3x＝9x．

∴S阴影部分＝16x﹣9x＝35．

解得：x＝5．

故答案为：5．

11．如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形△A′B′C′，若△ABC的面积为3，则△A′B′C′的面积是　21　．

【分析】连接C′B，根据三角形的中线平分线三角形的面积可得S△A′C′A＝2S△BAC′，再算出S△ABC′＝S△ABC＝3进而得到S△A′BC＝S△CC′B′＝6，从而得到答案．

【解答】解：连接C′B，

∵AA′＝2AB，

∴S△A′C′A＝2S△BAC′，

∵CC′＝2AC，

∴S△ABC′＝S△ABC＝3，

∴S△A′C′A＝6，

同理：S△A′BC＝S△CC′B′＝6，

∴△A′B′C′的面积是6+6+6+3＝21，

故答案为：21．

12．（实验班）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S1﹣S2＝a，则S△ABC＝　6a　．

【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S1﹣S2＝a，就可以求出S△ABC．

【解答】解：∵BE＝CE，

∴BE＝BC，

∵S1﹣S2＝a，

∴S△ABE＝S△ABC．

∵AD＝2BD，S△ABC＝9，

∴S△BCD＝S△ABC，

∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，

即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝＝a．

∴S△ABC＝6a，

故答案为：6a

13．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式为　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．

【分析】根据正方形面积公式求出第一个图形的面积，根据梯形面积公式求出第二个图形的面积，即可求出答案．

【解答】解：∵第一个图形的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（b+b+a+a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）

∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

14．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为　375　mm2．

【分析】设小长方形的长为xmm，宽为ymm，观察图形发现“3x＝5y，2y﹣x＝5”，联立成方程组，解方程组即可得出结论．

【解答】解：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，

由题意，得：，

解得：，

则每个小长方形的面积为：25×15＝375（mm2）

故答案是：375．

15．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是边AD的中点，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A→D→C→B运动，最终到达点 B．若点P运动的时间为xs，那么当x＝　或6　时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2．

【分析】首先理解题意，分类讨论，再画出图形，根据三角形的面积求出每种情况的答案即可．

【解答】解：①当P在AD上运动时，△BPE的面积小于5；

②当P在DC上时，如图1

∵△BPE的面积等于5，

∴S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DEP﹣S△BCP＝5，

∴3×4﹣×2×3﹣×2×（x﹣4）﹣×4×（7﹣x）＝5，

x＝6；

③当P在BC上时，如图2

∵△BPE的面积等于5，

∴S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S梯形DEPC＝5，

∴3×4﹣×2×3﹣×3×（x﹣7+2）＝5，

x＝；

综上当x＝或6以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2．

故答案为或6．

16．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、

∵正方形ACDE和正方形CBFG，

∴∠ACE＝∠ABG＝45°，

∴EC∥BG，

∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，

即S△BCG＝S△BEG，

∴当BC＝n时，Sn＝n2，

∴S2020﹣S2019＝×20202﹣×20192＝（2020+2019）（2020﹣2019）＝；

故答案为：．

三．解答题（共9小题）

18．如图，在小正方形边长为1cm的方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．

（1）补全△A′B′C′，利用网格点和直尺画图；

（2）图中AC与A′C′的关系是：　平行且相等　；

（3）画出AB边上的高CD；

（4）画出△ABC中AB边上的中线CE；

（5）平移过程中，线段AC扫过的面积为　28　cm2．

【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；

（2）根据平移的性质可得出AC与A′C′的关系；

（3）根据高线画出图形即可；

（4）先取AB的中点E，再连接CE即可；

（5）线段AC扫过的面积为平行四边形AA'C'C的面积，根据平行四边形的底为4，高为7，可得线段AC扫过的面积．

【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；

 （2）由平移的性质可得，AC与A′C′的关系是平行且相等；

【分析】（1）如图补全图形，先计算出大、小正方形的面积，再相减即可得；

（2）将a的值代入计算可得．

【解答】解：（1）如图，

大正方形的面积为（2a+3）2＝4a2+12a+9，

小正方形的面积为（2a+3﹣a）2＝（a+3）2＝a2+6a+9，

则阴影部分面积为（4a2+12a+9）﹣（a2+6a+9）＝3a2+6a；

（2）当a＝2时，

原式＝3×22+6×2＝24．

21．如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．

（1）求证：∠AED＝∠ACB；

（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE＝9，求S△ABC．

【分析】（1）由BDC+∠EFC＝180°和∠EFC+∠DFE＝180°得到∠BDC＝∠DFE，根据平行线的判定得AB∥EF，则∠ADE＝∠DEF，而∠DEF＝∠B，所以∠ADE＝∠B，于是可判断DE∥BC，然后根据平行线的性质得到∠AED＝∠ACB；

（2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△CDE＝S△ADC，再由F为DC的中点得S△DEF＝S△CEF＝S△DEC，而S四边形ADFE＝9，则S△ADE+S△EDC＝9，可计算出S△ADE＝6，则S△ADC＝12，然后利用D为AB的中点，根据S△ABC＝2S△ADC进行计算即可．

【解答】（1）证明：∵∠BDC+∠EFC＝180°（已知），

而∠EFC+∠DFE＝180°（邻补角的定义），

∴∠BDC＝∠DFE（等角的补角相等），

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），

∴∠ADE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），

∵∠DEF＝∠B（已知），

∴∠ADE＝∠B（等量代换），

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），

∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）；

（2）解：∵E为AC的中点，

∴S△ADE＝S△CDE＝S△ADC，

∵F为DC的中点，

∴S△DEF＝S△CEF＝S△DEC，

∵S四边形ADFE＝9，

∴S△ADE+S△EDC＝9，

∴S△ADE＝9，

∴S△ADE＝6，

∴S△ADC＝2×6＝12，

∵D为AB的中点，

∴S△ABC＝2S△ADC＝2×12＝24．

22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝　6.5　时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；

（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝　1：4　

（3）当t＝　或　时，△BPC的面积为18．

【分析】（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；

（2）求出当t＝5时，AP与BP的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可；

（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．

【解答】解：（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝12+7.5＝19.5（cm），

∴3t＝19.5，

解得t＝6.5．

故当t＝6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；

（2）5×3＝15，

AP＝15﹣12＝3，

BP＝15﹣3＝12，

则S△APC：S△BPC＝3：12＝1：4；

（3）分两种情况：

①当P在AC上时，

∵△BCP的面积＝18，

∴×9×CP＝18，

∴CP＝4，

∴3t＝4，t＝；

②当P在AB上时，

∵△BCP的面积＝18＝△ABC面积的＝，

∴3t＝12+15×＝22，t＝．

故t＝或秒时，△BCP的面积为18．

故答案为：6.5；1：4；或．

23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？

【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；

（2）过E作BC边的垂线即可；

（3）过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．

【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，

∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+40°＝55°；

（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求；

（3）过A作BC边的垂线AG，

∴AD为△ABC的中线，BD＝5，

∴BC＝2BD＝2×5＝10，

∵△ABC的面积为40，

∴BC•AG＝40，即×10•AG＝40，解得AG＝8，

∵EF⊥BC于F，

∴EF∥AG，

∵E为AD的中点，

∴EF是△AGD的中位线，

∴EF＝AG＝×8＝4．

24．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．

②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝　（a+2b）（2a+b）　．

【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是直接利用正方形的面积公式计算，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；

（3）利用S阴影＝正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．

（4）①依照前面的拼图方法，画出图形便可；

②由图形写出因式分解结果便可．

【解答】解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，

∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；

（3）∵a+b＝10，ab＝20，

∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20；

（4）①根据题意，作出图形如下：

②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．

故答案为（a+2b）（2a+b）．

26．阅读下列文字：

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，求a2+b2+c2的值；

（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．

【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；

（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；

（3）根据分解结果画出图形即可．

【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；

正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，

所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；

（2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，

∴由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣42×2＝60；

（3）如图所示：

2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．