六年级奥数(精品)数论综合

知识点精讲

一、特殊数的整除特征

1.尾数判断法

1)能被2整除的数的特征：

2)能被5整除的数的特征：

3)能被4（或25）整除的数的特征：

4)能被8（或125）整除的数的特征：

2.数字求和法：

3.99的整除特性：

4.奇偶位求差法：

5.三位截断法：

特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

二、多位数整除问题

技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质

2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数

1.基本定义

【质数】——

【合数】——

注：自然数包括0、1、质数、合数.

【质因数】——

【分解质因数】——

用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×an，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1【互质数】——

【偶数】——

【奇数】——

2.质数重要性质

1)100以内有25个质数：

2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：

3)1既不是质数,也不是合数

4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数

5)最小的质数是2.最小的奇质数是3

6)有无限多个

3.质数的判断：

1)定义法：判断整除性

2)熟记100以内的质数

3)平方判断法：

例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.

4.合数

1)无限多个

2)最小的合数是4

3)每个合数至少有三个约数

5.互质数

1)什么样的两个数一定是互质数？

注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=37,不能写成：37=21.

6.偶数和奇数

1)0属于偶数

2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数

3)除2外所有的正偶数均为合数

4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半

5)奇±奇=偶 偶±偶=偶 偶±奇=奇     奇×奇=奇 偶×奇=偶 偶×偶=偶

四、约数与倍数

1.约数与倍数概念：

2.一个数约数的个数：

3.平方数与约数个数的关系：

4.最大公约数与最小公倍数求法：

分解质因数：

辗转相除法：

5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

6.分解质因数的作用。

整除问题

例题1求无重复数字，能被75整除的五位数．

例题2将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？

例题3一个五位数 同时是11与25的倍数，求这个五位数．

例题4（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

例题5在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？

例题6有5个连续质数的乘积是一个形如“□△□□△□”的六位数，如果其中的“□”和“△”各代表一个数字，那么这个六位数是        ． 

例题7如果六位数既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？

例题8一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？

例题9将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“123456710111213…”．当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次被90整除．请问：N是多少？

质数与合数

例题10请把下面的数分解质因数：

（1）2635                           （2）22425    

例题11算式的计算结果的末位有多少个连续的0？

例题12100！末尾有多少个连续的0？

例题13甲、乙、丙三人打靶，每人打三．三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上4环的那一是谁打的？

例题14（1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？

（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？

例题15把从1开始的若干个连续的自然数1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾13位恰好都是0．请问：

（1）最后出现的自然数最小应该是多少？

（2）若称除以12为一次操作，设（1）中出现的最小自然数为n，对n！至少进行几次操作，最后的结果才会出现余数？

例题16把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等？

例题17从1！，2！，3！，…，100！这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数．请问：去掉的那个数是什么？

约数与倍数

例题18480有多少个约数？ 1440的所有约数的和是多少？

例题19求一组分数、、 的最大公约数．

例题20已知两个自然数的差为4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为252，求这两个自然数．

例题21两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，那么这两个数的差有几种可能？

例题22已知a有6个约数，b有10个约数，且a、b的最大公约数是12，求a与b．

例题23甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是720，求甲、乙两数各是多少？

例题24两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？

例题25老师在黑板上写下三个数：108,396，A，让同学们求它们的最小公倍数．小马虎误将108当做180进行计算，结果竟然与正确答案一致．A最小等于几？

例题26大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下60个脚印．问这个花圃的周长是多少？

余数计算、物不知数与同余

例题27有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？

例题28一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？

例题29有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？

例题30100多名小朋友站成一列．从第一人开始依次按1，2，3，，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？

例题31的个位数字是________

例题32除以4、5、9所得的余数分别是_______、_______、_______．

例题33一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最小的自然数是           ．

综合练习题

例题34求满足下面条件的整数a、b：

1）                  2）

例题35一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少？

例题36用1,2,3,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数,并且使这四个数之和等于100,要求最大的两位数尽可能大,那么,最大的两位数是__________.