函数的奇偶性的经典总结归纳

一、函数奇偶性的基本概念

1．偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，，那么函数就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任一个，都有，，那么函数就叫做奇函数。

 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断  之一是否成立。

（2）在判断与的关系时，只需验证及=是否成立即可来确定函数的奇偶性。

题型一 判断下列函数的奇偶性。

⑴，（2）（3）(4) 

(5) (6) (7)，(8)

提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断

（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 

（2）常见的奇函数有：，，，

（3）常见的奇函数有：，，     

（4）若、都是偶函数,那么在与的公共定义域上， +为

偶函数， 为偶函数。当≠时，为偶函数。

（5）若，都是奇函数，那么在与的公共定义域上， +是奇函数， 是奇函数，是偶函数，当≠0时，是偶函数。 

（6）常函数是偶函数， 0既是偶函数又是奇函数。

（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数；若为偶函数,为奇（偶）函数，则都为偶函数；若为奇函数，为奇函数,则为奇函数;若为奇函数，为偶函数,则为偶函数. 

题型二 三次函数奇偶性的判断

已知函数，证明：（1）当时，是偶函数

（2）当时，是奇函数

提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如，当，是偶函数；当，是奇函数。

题型三  利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值

1函数是偶函数，定义域为，则          ．

2设是定义在上的偶函数，则的值域是       ．

3 已知是奇函数，则的值为    1

4已知是偶函数，则的值为   1

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。

（2）因为是填空题，所以还可以用。

（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。

题型四 利用函数奇偶性的对称

1下列函数中为偶函数的是（ B  ）

A．          B．         C．        D． 

2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A

  A． ． ． ．

3下列函数中，为偶函数的是（ C  ）

A．             B．               C．                 D． 

4函数的图像关于（   C ）

A．轴对称          B． 直线对称  C． 坐标原点对称      D． 直线对称

5已知函数是上的奇函数，且，则=-4

6已知函数是上的偶函数，则，则=-3

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。

(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。

(3)在原点有定义的奇函数必有。

（4）已知函数是上的奇函数，则关于点对称。

(5)已知是偶函数，则关于直线对称。

题型五  奇偶函数中的分段问题

1设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则

2已知是奇函数，且当时，，求时，的表达式。

3已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则=-45

4已知是偶函数，当时，，求     

5设偶函数满足，则=

提示：（1）已知奇函数，当，，则当时，。

（2）已知偶函数，当，，则当时，。

类型六 奇函数的特殊和性质

1已知函数，求的和为4

2已知，且，则=0

3已知，， =_-26__

4已知函数＝，若，则(　　)

提示：已知满足，，其中是奇函数，则有。

题型七  函数奇偶性的结合性质

1设、是上的函数，且是奇函数，是偶函数，则结论正确的是

.是偶函数 .||是奇函数

.||是奇函数 .||是奇函数

2设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 

 A．是偶函     B．是奇函数

C． |是偶函数   D． |是奇函数

3设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式，。 

提示：（1）已知是奇函数，则是偶函数。

（2）已知是上的函数，且也是上的偶函数和也是上的奇函数，满足，则有，。

题型八 函数的奇偶性与单调性

1下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）

A． ． ． ． 

2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为

（A），xR      （B），xR且x≠0

（C），xR     （D），xR

3设，则（   B  ）

A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数

4设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（  ）

5已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是.

6已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的取值范围是

提示：（1）已知是奇函数，且在上是增（减）函数，则在上也是增（减）函数。

（2）已知是偶函数，且在上是增（减）函数，则在上也是减（增）函数。

（3）已知是偶函数，必有。

题型九 函数的奇偶性的综合问题

1已知函数,当时，恒，且，又（1）求证：是奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在区间上的最值。最大值1，最小值-3。

2设，且有，求的取值范围。

练习题

一、判断下列函数的奇偶性

（1）  （2）（3） 

 （4）（5）（5）（6）

(7)  (8)（9），(10)，(11)，(12) (13)  ，(14)，(15)，(16),(17) 

二、利用函数的奇偶性求参数的值

1若函数是偶函数，求的值。0

2若函数是奇函数，求的值。4

3函数是奇函数，定义域为，则的值是   9 ．

4若是奇函数，则    

5若函数为偶函数，则实数___0_____.

6设函数是偶函数，则实数_______-1________

7若函数是奇函数，则a=  .

8若为奇函数,则实数__-2____.

9若函数为偶函数，则   1   

10若是偶函数，则____________.

三、 函数奇偶性定义的应用

1函数y=的图像A

（A）关于原点对称 （B）关于直线对称（C）关于轴对称（D）关于直线对称

2已知函数，则 （B ）               

A.   B.为偶函数 C.  D.不是偶函数

3若是偶函数，则（为常数）                            ( A   )          

A.是偶函数     B.不是偶函数   C.是常数函数   D.无法确定是不是偶函数

4函数=则为                               （   B ）             

A.偶函数   B.奇函数    C.既是奇函数又是偶函数   D.既不是奇函数又不是偶函数

5已知为奇函数，则为                             （  A  ）         

A奇函数  B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

6已知点是偶函数图像上一点，则等（B ）

A.-3       B.3     C.1      D.-1

7若点在奇函数的图象上，则等于（D）

A.0      B.-1      C.3      D.-3

8已知是奇函数,且.若,则____-1___ .

9设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是（  A  ）

A．奇函数 ．偶函数 ．既是奇函数又是偶函数 ．非奇非偶函数

10设是上的奇函数，且的图象关于直线对称，则

0

11已知偶函数的图像关于直线对称，，则___3____.

12设函数对于任意都有，求证：是奇函数。

13已知，函数为奇函数，则    -1   ，   -7     ．

14已知奇函数的，且方程仅有三个根，则的值  0

15 设函数是上为奇函数，且，在的值

16已知偶函数，求的个数7

17 已知偶函数，求的个数9

四、 函数奇偶性的性质

1已知是偶函数，且，则的值为1

2已知，则的值4

3已知其中为常数，若，则的值等于( -10   )

4已知，则的值   -4

5已知，则的值 -4

6已知，则的值 6

7已知函数，则（   ）

8已知函数

9已知函数，，则

10设函数的最大值为，最小值为，则=_2___

11已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则                 

11在上的奇函数和偶函数满足(＞0,且).若，则=     

12若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（  D  ）

A． B． C． D． 

13若函数为上的偶函数，且当时，，则    3    ．

14函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是0  

15函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是0   

16若函数在上是奇函数,则的解析式为________.

17设是上的奇函数，且当时，，则当时___

18已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，   .

19函数在区间上的最大值为，最小值为，则4 ．

20奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ 1   ）

21设定义在上的奇函数，满足，那么的值0

22已知函数是上的偶函数，当，都有，且当时，，则有的值 1

五、函数奇偶性和单调性的应用

1已知函数是偶函数，则的递减区间是    

2设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（  ）

3已知函数，则

（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数

（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是减函数

4已知奇函数在上是增函数.若，则

的大小关系为

5已知是定义在R上的偶函数，且.若当时，，

则         .

6已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是.

7已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的取值范围是

8若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

A  ．

C．  D．

9设偶函数满足，则

10已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若，则的取值范围是____．

11已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足

，则的取值范围是（    ）

12已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为

13是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是

14已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递增区间是

15 已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递减区间为

16已知都是奇函数，如果的解集是，的解集为，则的解集为

17 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，令，则的大小， 

18已知函数是上的奇函数，若当时，，则满足的解集， 

19设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（   ）

20设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．

21函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ B）

A．             B．

C．             D．

22 R上的偶函数满足：对任意的，有.则A.

（A）   (B) 

(C)   (D) 

23设函数，则是（  A ）

A．奇函数，且在上是增函数                 B．奇函数，且在上是减函数

C．偶函数，且在上是增函数                 D．偶函数，且在上是减函数

24已知函数，则

A．在（0,2）单调递增                B．在（0,2）单调递减

C．y=的图像关于直线x=1对称        D．y=的图像关于点（1,0）对称

25函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是

26函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等

式的解集。 

27已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则函数的最小值是（5 ）

28已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则-8

29 已知函数，求的解集  

30已知上的奇函数，求的解集为

六、函数奇偶性综合应用

1已知函数是定义在上的奇函数，当时，。

若, ,则实数的取值范围为

2已知函数是偶函数，且在上单调递增．

（Ⅰ）求的值，并确定的解析式； （Ⅱ），求的定义域和值域．        答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）

3已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：

（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。

4已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。

5已知定义在上的奇函数满足．

(1)求的值；0    (2)求证：函数的图像关于直线对称；

(3)若在区间[0,2]上是增函数，试比较的大小． 

6已知函数是奇函数，是偶函数.

（1）求的值； 

（2）设，若对任意恒成立 ，求实数的取值范围. 

7已知函数.

（1）求函数的定义域；  （2）判断函数的奇偶性；

（3）当时，，求函数的值域. 

8已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求，的值；,

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 

9已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并证明；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围． 

10已知函数的图像关于原点对称．

（1）求的值； 

（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围． 

11已知定义在上的函数是奇函数．

⑴求的值； 

⑵若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围

12设为实数，函数，

（1）讨论的奇偶性；  （2）求的最小值。

13 已知函数（）是奇函数，，且在上是增函数，

（1）求的值；（2）当时，讨论函数的单调性。

14函数的定义域为，若与都是奇函数，则(  D  )

(A)是偶函数   (B)是奇函数   (C)  (D)是奇函数