柯西不等式中取等条件的妙用

设是实数，则

，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.

 以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为“方和积不小于积和方”），其应用十分广泛和灵活，善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能，可用于求代数式的值、解方程、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、妙用取等条件求代数式的值

例1 设，且，求的值.

解析：构造两组实数；由柯西不等式，得

，

即，

上式等号成立的充要条件是

令，则，， 

所以

点评：本题若直接求解，过程较繁.借助柯西不等式，顺利地实现了从不等到相等的转化，干净利落.其中不等式等号成立的条件及其适当的变形是实现这一转化的桥梁.

二、妙用取等条件解方程

例2  解方程.

分析：  利用二维形式的柯西不等式把变形后求最值，取“”号时的值即为原方程的根.

解析：  

.

其中等号成立的充要条件是：，

解得.

故原方程的根为.

点评：  利用二维形式的柯西不等式，取“”号的充要条件是，因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中哪些数或代数式分别相当于柯西不等式中的“”，否则容易出错.

三、妙用取等条件证明等式

例3 （1996年国际奥林匹克竞赛试题）已知、均为锐角，且，求证：．

证明 ： 已知等式的左边可视为两数的平方和，且两个分母的和为1，利用柯西不等式，得

，

上式等号成立的充要条件是，

即．又由、均为锐角，可得．

∴，注意到，

∴．

点评：  构造恰当的柯西不等式并灵活利用取等条件可以使许多数学问题的解决变得犹如囊中取物，易如反掌．

四、妙用取等条件判断三角形的形状

例4  三角形三边对应的高分别为，为此三角形内切圆的半径.若，试判断此三角形的形状.

解析：  由条件知，

又由条件知，

∴.

由柯西不等式，得

，

即.

当且仅当时取等号，注意到，可推知.

故所给三角形为等边三角形.

点评 ：本题以三角形面积公式为转化依据，巧妙利用柯西不等式中等号成立的条件，轻松判断出三角形的形状.

五、妙用取等条件确定点的位置

例5  为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求使取最小值时的点.

解析： 如图，设的三边长，面积为，记，则.

由柯西不等式，得

，

即，

亦即.

当且仅当，也就是时等号成立，.

故使取最小值时的点是的内心.

点评： 本题先利用柯西不等式求出的最小值，再由柯西不等式中取等号的条件得出，进而得出点是的内心.