中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题附答案

1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．

【答案】△ABC的周长为10．

【解析】

【分析】

分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．

【详解】

当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：

解得： 

当时，原方程为x2﹣6x+8＝0，

解得：x1＝2，x2＝4，

∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；

当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝（2k﹣3）2＝0，

解得：k＝，

∴b+c＝2k+1＝4．

∵b+c＝4＝a，

∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．

∴△ABC的周长为10．

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

2．已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，

由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，

①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍.

②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，

综上所述，n=0.

3．解下列方程：

(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；

(2)(x＋1)2＝6x＋6.

【答案】(1)x1＝1＋，x2＝1－ (2) x1＝－1，x2＝5.

【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝，∴x2－2x＋1＝.

∴(x－1)2＝.

∴x－1＝±＝±.

∴x1＝1＋，x2＝1－.

(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.

∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.

∴x1＝－1，x2＝5.

4．已知两条线段长分别是一元二次方程的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。

（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得，

即：或，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，

由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为： 

∴此等腰三角形面积为=．

（3）设分为及两段

∴，

∴，

∴面积为.

【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折.

【解析】

【详解】

解：（1）设每千克核桃应降价x元.

根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，

化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.

答：每千克核桃应降价4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.

 ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.

此时，售价为：60﹣6=54（元），.

答：该店应按原售价的九折出售.

6．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．

【答案】x1＝﹣2，x2＝1

【解析】

【分析】

设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．

【详解】

解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，

解得y1＝﹣3，y2＝2．

①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，

解得x1＝﹣2，x2＝1；

②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，

∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，

∴此方程无解；

∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．

【点睛】

本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.

7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．

（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？

（2）11 月 11 日，区决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a%，且储备排骨的销量占总销量的，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了a%，求 a 的值．

【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a=35.

【解析】

【分析】

（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；

（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克

年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，

11月的进货价为： 元/千克

设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 千克

则，

解得，

因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.

（2）根据题意可得

解得,(舍去)

所以a=35.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令，解方程求出t后再求a的值.

8．阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知。

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解。

（1）问题：方程的解是，_____，_____。

（2）拓展：用“转化”思想求方程的解。

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C。求AP的长。

【答案】（1）2，-（2）1，3  ; （3）3m.

【解析】

【分析】

（1）因式分解多项式，然后得结论；

（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；

（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.

【详解】

（1）x3-x2-2x=0，

x（x2-x-2）=0，

x（x-2）（x+1）=0

所以x=0或x-2=0或x+1=0

∴x1=0，x2=2，x3=-1；

故答案为： 2，-1；

（2）

方程的两边平方，得4x-3=x2

即x2-4x+3=0

（x-3）（x-1）=0

∴x-3=0或x-1=0

∴x1=3，x2=1，

当x=3或1时,有意义，故是方程的解.

（3）因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=4m,

设AP=xm，则PD=（6-x）m

因为BP+CP=10，BP=,CP= ,

所以=10-

两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16

整理，得3x+16=5,

两边平方并整理，得x2-6x+9=0

即（x-3）2=0

所以x=3．

经检验，x=3是方程的解．

答：AP的长为3m．

【点睛】

考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．

9．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.

【答案】x1＝＋，x2＝－.

【解析】

试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.

试题解析：(x＋1)(x－1)＝2x

x2-2x-1=0

∵a=1，b=-，c=-1

∴△=b2-4ac=8+4=12＞0

∴x==±

∴x1＝＋，x2＝－.

10．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．

【解析】

试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．

试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，

解得m≤4； 

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，

而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．