一.选 择 题
【范例1】集合若则（ ）
A．{2,3,4} B．{2 ,4} C．{2,3} D．{1，2,3,4}
答案：A
【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。
【解题指导】，.
【练习1】已知集合，，则集合的充要条件是（ ）
A．a≤－3 B．a≤1 C．a＞－3 D．a＞1
【范例2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【错解分析】此题容易错选为A，容易漏掉的情况。
【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义.
【练习2】若函数的定义域为，且，
则函数的定义域是（ ）
A． B.
C. D.
【范例3】如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
A．1275 B．2550
C．5050 D．2500
答案:B．
【错解分析】此题容易错选为C，应该认真分析流程图中的信息。
【解题指导】
【练习3】下面是一个算法的程序框图，当输
入的值为8时，则其输出的结果是（ ）
A． B． 1
C．2 D．4
【范例4】已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案: A
【错解分析】此题容易错选为B，请注意是充分不必要条件，而不是充要条件。
【解题指导】由题意，画数轴易知.
【练习4】已知下列三组条件：
（1），；（2），（为实常数）；
（3）定义域为上的函数满足，定义域为的函数是单调减函数．其中A是B的充分不必要条件的有 （ ）
A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【范例5】已知为虚数单位，则复数对应的点位于 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案:C
【错解分析】此题主要考查复数的四则运算，必须熟练掌握。
【解题指导】
【练习5】在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）
A. B. C. D.
【范例6】设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是没有注意是单调减函数。
【解题指导】由即可得
即恒成立，由，解得.
【练习6】已知,当时，有,则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题
【范例7】已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的（其中*），的最大值是 .
答案：10
【错解分析】此题容易错选认为求最大项。
【解题指导】由得，即在数列中，前三项以及从第9项起后的各项均为负且，因此的最大值是.
【练习7】已知等差数列的前n项和是，且，且存在自然数使得，则当时，与的大小关系是 .
【范例8】函数的最小值是 .
答案：
【错解分析】此题容易在化简上出错，对于三角变换的公式一定要熟练掌握，一定要化到三个一的形式：。
【解题指导】∵
，此函数的最小值为
【练习8】已知，，则等于 .
【范例9】已知圆上任一点，其坐标均使得不等式≥0恒成立，则实数的取值范围是 .
答案：
【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。
【解题指导】求出圆的斜率为-1的两条切线，画图研究他们和=0的关系.
【练习9】为不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的 条件．
【范例10】圆的过点的切线方程为 .
答案:
【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。
【解题指导】（一）易知点在圆上，故切线只有一条，且斜率为，
（二）借助结论：过圆上一点的切线为。
【练习10】过点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点，则的外接圆方程为 .
【范例11】在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径的圆做圆，若过点，所作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为
答案：
【错解分析】此题容易错在对图中椭圆，及圆的性质提取不全。
【解题指导】过点作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形是一个正方形，即圆心到点的距离等于圆的半径的倍，即，故.
【练习11】已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是 .
【范例12】如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三点重合后为点P，则折起后二面角P—AB—C的余弦值为 .
答案：
【错解分析】此题容易出现的错误有多种，主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。
【解题指导】取AB的中点D,连接CD,PD,则∠PDC为二面角P—AB—C的平面角.
【练习12】正方形的夹角的余弦值是 .
三.解答题
【范例13】已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．
【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。
解：（1）由题设，得 ， 即，解得n＝8，n＝1（舍去）．
（2）设第r＋1的系数最大，则即 解得r＝2或r＝3．
所以系数最大的项为，．
说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．
【练习13】函数（为实数且是常数）
（1）已知的展开式中的系数为，求的值；
（2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
【范例14】已知函数，设。
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。
（3）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。
【错解分析】（1）在F（x）的定义域内才能求单调区间。
（2）对恒成立问题的解决理解不清楚
解:(1)
由。
（2）
当
…………………………………………4分
（3）若的图象与
的图象恰有四个不同交点，
即有四个不同的根，亦即
有四个不同的根。
令，
则。
当变化时的变化情况如下表：
| (-1,0) | (0,1) | (1,) | ||
| 的符号 | + | - | + | - |
| 的单调性 | ↗ | ↘ | ↗ | ↘ |
画出草图和验证可知，当时，
【练习14】已知．
⑴ 求函数在上的最小值；
⑵ 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
⑶ 证明对一切，都有成立．
【范例15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.
（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
【错解分析】遇到“至多”，“至少”问题我们通常求其对立事件的概率。
解：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、
由题意得：
解得：或，∴.
即，一个零件经过检测为合格品的概率为.
（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为
【练习15】某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.
（1）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；
（2）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；
（3）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.
练习题参：
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7． 8． 9．充要
10. 11. 12.
13. 解：（1）
（2）依题意，得，而要，只要
对于，
时满足题意。
14．解：⑴ ，
当，，单调递减，当，，单调递增．
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以．
⑵ ，则，
设，则，
当，，单调递增，，，单调递减，
所以，
因为对一切，恒成立，所以；
⑶ 问题等价于证明，
由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易得，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立．
15．解：（1）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，
（2）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则
两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为
（3）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3，
.
所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.
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