福建省惠安县2012届高三5月月考(数学文)

数 学(文 科)试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4. 保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：

 样本数据的标准差                          锥体体积公式

        ，

其中为样本的平均数.                                 其中S为底面面积，h为高.

柱体体积公式                                        球的表面积.体积公式                                   

                                              ， 

其中S为底面面积，h为高.                            其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 

1.已知集合，集合={y|y<3}，则集合为（    ）

A.        B.        C.         D. 

2.在等差数列中，若，则（    ）

A.45              B.75      

 C.180             D.300

3.执行右面的程序框图，若输出的结果是，

则输入的为（     ）

A．         B．         

C．         D． 

4.已知，，与的夹角为300，则的值为(     )

A..　　　　　 B..  　　　 C..        D..

5.已知是平面，是直线．下列命题中假命题的是(    )

A.若，，则          B.若，，则

C.若，，则         D.若，，则

6.一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下表：

A.12%          B.40%           C.60%           D.70%

7.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个,其三面涂有油漆的概率是（    ）

A.           B.         C.            D. 

8.已知sin+cos=，∈(0，)，则tan的值为（    ）  

A．         B．        C．或         D．或 

9.设为椭圆的两个焦点，点为椭圆上的一点，且，，则椭圆的离心率为（    ）

    A．    B．         C．    D． 

10.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（  ） 

A.1         B.       C.         D. 

11.已知函数当时， .当. 若数列(     )

A.     B.    C.      D. 

12.已知:,其中均为非零向量且，则其零点个数为（    ）

A.至多一个     B.至少一个     C.至少两个     D.无法判断

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是          .

14.在复平面内,复数1+i对应的点的坐标为            .

15.若变量，满足约束条件则的最大值为             . 16.如果三位数满足及，那么这个三位数称为“凹数”，例如101，323都是“凹数”，而123，465，100都不是“凹数”，则所有的三位“凹数”的个数有              .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知：等差数列{}中， =14，前10项和．

（1）求；

（2）将{}中的第2项，第4项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和．

18.（本小题满分12分）已知向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx， cosx)，函数f(x)＝a·b＋.

(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；

(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．

19.（本小题满分12分）某学校高一、高二、

高三三个年级共有学生名，各年级

男、女生人数统计如图.

已知在全校学生中随机抽取1名，

抽到高二年级女生的概率是0.19.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校

抽取名学生，问应在高三年级抽取多少名？

（Ⅲ）已知，求“高三年级中女生比男生多”事件的概率．

20.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.

（1）求四棱锥的体积；

（2）如果是的中点，求证平面；

（3）探究：不论点在侧棱的任何位置，是否都成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由.

21．（本小题满分12分）设点是圆O：上的动点，垂直x轴于是的中点，且的轨迹是曲线.

(1) 求曲线的方程;

(2) 设点为坐标原点, 过点的直线与C交于两点, N为线段的中点,延长线段交于点.

求证: 的充要条件是.

22.（本小题满分14分）设函数

(Ⅰ) 当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.

（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.

2012年惠安县普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所标注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

 1. C； 2.C； 3.B； 4.B； 5.B； 6.C；7.D；8.A；9.D；10.B；11.A 12.A .

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13.； 14.（1,1）；  15. ；  16.285.

三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分.

解：(1)由  设公差为d, ………………1分

∴  ……3分

解得………………4分

由  ………………6分

 (2)设新数列为{}，由已知，  ………………8分

  ………………10分   ………………12分

18.本小题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质等基础知识，考查三角运算求解能力等．满分12分.

解：(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋………………2分

＝sin2x－(cos2x＋1)＋………………4分

＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，

所以f(x)的最小正周期为π. ………………6分

令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，

∴x＝＋，k∈Z.

故所求对称中心的坐标为(＋，0)(k∈Z)．………………8分

(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.………………10分

∴－≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域为[－，1]．……………12分

19.本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想、化归与转化思想等．满分12分.

解：（1）由已知有；………………3分

（2）由（1）知高二男女生一共人，又高一学生人，所以高三男女生一共人，

按分层抽样，高三年级应抽取人；………………6分

（3）因为，所以基本事件有：

一共11个基本事件. ………………9分

其中女生比男生多，即的基本事件有：

共5个基本事件，………………11分

故“高三年级中女生比男生多”事件的概率为  ………………12分 

20.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分.

解：（1）∵平面，

∴   ………………3分   

即四棱锥的体积为.………………4分

（2）连结交于，连结.

∵四边形是正方形，∴是的中点.

又∵是的中点，∴.………………6分

∵平面，平面  

∴平面.………………8分

（3）不论点在何位置， 成立.………………9分

证明如下：∵四边形是正方形，∴.

∵底面，且平面，∴.

又∵，∴平面.………………10分

∵不论点在何位置，都有平面.

∴不论点在何位置， 成立.………………12分

21.本小题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想等. 满分12分.

解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知……(2分)

又∴.

所以, 点M的轨迹C的方程为.………………4分

 (2)设点, , 点N的坐标为,

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………5分

㈡设直线l: 

由消去x, 

得………………①

∴………………6分

∴,

∴点N的坐标为.………………8分

①必要性：若, 则点E的坐标为, 由点E在曲线C上, 

得, 即 ∴舍去). 

由方程①得

又

∴.………………10分

②充分性：若, 由①得∴

∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,

由  解得 ∴点E的坐标为

∴.

综上, 的充要条件是.………………12分

22.本小题主要考查函数与导数的基本性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想和化归与转化思想等. 满分14分.

解：(Ⅰ)函数的定义域为.

      当时，令得.

   当时，当时， 

   无极大值. 4分

（Ⅱ） 

             5分

    当，即时， 在上是减函数；

当，即时，令得或

      令得

当，即时，令得或

      令得7分  

综上，当时，在定义域上是减函数；

      当时，在和单调递减，在上单调递增；

当时，在和单调递减，在上单调递9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，

当时，有最大值，当时，有最小值.

….…..  12分

而经整理得由得，所以…………14分.