计算n阶行列式的若干方法举例

闵  兰

摘  要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

关键词：n阶行列式    计算    方法

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算

例1  计算行列式

解    Dn中不为零的项用一般形式表示为

.

该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于，故

    2．利用行列式的性质计算

例2  一个n阶行列式的元素满足

则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.

    证明：由知，即

故行列式Dn可表示为

由行列式的性质

    当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3  计算n阶行列式

    解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4  计算n阶行列式

解  将Dn按第1行展开

.

5．逆推公式法

逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。

例5  证明

    证明：将Dn按第1列展开得

    由此得递推公式：，利用此递推公式可得

6．利用范德蒙行列式

例6  计算行列式

解  把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例7  计算n阶行列式

    解：             

（箭形行列式）

8．数学归纳法

例8  计算n阶行列式

解：用数学归纳法. 当n = 2时

假设n = k时，有

    则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

由此，对任意的正整数n，有

9．拆开法

把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例9  计算行列式  

解： 

……

上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。

参考文献

《线性代数》魏贵民等主编  高等教育出版社  2004年8月

《线性代数解题方法》刘金山  吴明芬编著  华南理工大学出版社  2000年6月

《线性代数复习指导》马杰主编  机械工业出版社  2002年3月

作者简介：闵  兰  成都理工大学信息管理学院数学教学部  副教授