喀兴林高等量子力学习题EX23-27

对整数和都成立；式中定义为

证明：（王俊美）

因为    

对    进行得

        （这里）

则        

所以    

即         

此题得证。

练习23.2 利用上题，证明当为正整数，且时有        

证明：（王俊美）

因为    

所以            

此题得证

所以        

此题得证。

练习 23.3  证明当及时有 （杨涛）

   （1）

   （2）

证明：对（1）式变形的

                     （3）

   要证（1）式成立即要求（3）式成立即可

   由可得（3）式的左式

   由可得

  左式=右式

  题中所列等式成立 即（1）式成立

对（2）式变形，左式与右式同时乘以

  则   

假定

左式=右式

即题设中所列等式成立

#

练习23.4  利用23.2与23.3的结果。证明：（杨涛）（1）

及（2）

证明：由可得

     假设        

（1）式的左式

又

  题设中（1）式成立

据可得： 

根据（2）式我们知： 

即（2）式证毕

#

练习23.5利用上题结果，证明CG系数的Edmonds形式（23.19）式与（23.20）等价。 （做题人：韩丽芳）

证明：CG系数的Edmonds形式（23.19）式如下式所示

CG系数的另一种Racah形式（23.20）式如下所示

              （1）

而

                        （2）

由公式

         （3）

及          

       （4）

则（1）式的最后一项为

将换成得

             （5）

将（5）代入（1）式并和（2）式比较证得两式等价

即CG系数的Edmonds形式与Racah形式等价。

#

23.6 证明（23.27）式与（23.20）式等价。（做题人：韩丽芳）

证明：CG系数的Racah形式（23.20）式如下所示

CG系数的Wigner形式（23.27）如下所示

               （1）

而

（2）

由公式

         （3）

及          

       （4）

则（2）式的最后一项为

              （5）

将（5）式代入（2）式得，再与（1）式进行比较，证得两式等价，即CG系数的Racah形式与CG系数的Wigner形式。

23.7  取,取转动,写出:(1);(2) S ;   (3) (这三者都是矩阵). （吴汉成）

解：  

       又  

（1） 根椐公式：

可得： 

所以， 

（2）根据CG系数Wigner形式的公式：

可得S的矩阵如下： 

表示行序号：，它们的取值，11表示第一行，10表示第二行，依此类推，-1-1表示第九行。

  表示列序号：，它们的取值，00表示第一列，11表示第二列，依此类推，2-2表示第九列。

（3）因为，所以的矩阵，则的值（把转置后，再取转置后矩阵元的倒数，即得的矩阵元）,如下：

jm表示行序号：jm=00，11，10，1-1，22，21，20，2-1，2-2。

                00表示第一行，11表示第二行，依此类推，2-2表示第九行。

表示列序号： =11，10，1-1，01，00，0-1，-11，-10，-1-1。11表示第一列，10表示第二列，依此类推，-1-1表示第九列。

#

23.8 证明（23.70）式等号右边的分子

与无关。（吴汉成）

证明：已知（23.69）式为：

现取m                             -------------------------------- (1)式

另一方面，根据上升算符的性质：

    ，可把作用于（23.69）式两边,得: 

两边除以，得：

                               --------------------------（2）式

（1）（2）两式比较，得：

此恒等式含有递推关系：

其中，。现设，则综上所述，得：

-----（3）式

此（3）式表明了：在范围内，取任意两值和时，该式都是恒等的，即该恒等式与的取值无关，所以证得与无关。

#

23.9.取，讨论在两种耦合方式中的取值范围与耦合方式无关。（刘强）

证明：

第一种耦合方式：（利用CG系数不为零的条件）

在和耦合中满足：

         （１）

在和耦合中满足：

            （2）

由（１）（2）两式得

令得；

第二种耦合方式:与先耦合成再与耦合，

同理我们可得到

令得；

当时，在两种耦合方式中的取值范围都是。

即证得的取值范围与耦合方式无关。

23.10在多粒子系统中，给定和，直接证明与对易。  （刘强）

证明：

为两粒子之间的距离，

对于多粒子系统中，给定为一个数值，

则上式=

即

证得与对易。

#

24.1（1）写出：的明显9×9矩阵形式。  （董廷旭）

   （2）利用（24.21）式，由9个计算出（24.22）、（24.23）和（24.24）三式。

解（1）

（2）

#

24.2 证明除零秩外，所有不可约张量算符的迹都是零。 （董廷旭）？？？？ 

   证明：根据不可约张量算符的定义，我们知道，具有在转动下按球谐函数的规律变换的一组算符作为其分量。与球谐函数的性质做类比，我们可以通过幺正变换把不可约张量算符的矩阵变成对角阵，而对角元素就是相应本征函数的本征值，又因为其本征值必是2k+1个以原点对称的数，所以本征值的和为零。从而得到对角矩阵的迹为零。又因为幺正变换不改变矩阵的迹。零秩显然本身不为零。从而我们得出除零秩外，所有不可约张量算符的迹都是零。

练习24.3 设已知一个二秩不可约张量的一个分量为式中和为二矢量，，亦同。求的其余分量。（做题人：侯书进）

解：由公式

并且由已知

得

即求得

同理                

即得

由

得

及由

得

即求得求的其余分量为

练习24.4  采用公式和为不可约张量算符的定义，证明两个不可约张量算符的直积的左方确实是一个不可约张量算符。 （做题人：侯书进）

证明：  两个不可约张量算符和，可以通过它们的直积构成一些新的不可约张量算符

式中的取值为，上式可以简写成

要证明（24.30）式的左方确实是一个不可约张量算符，只需利用定义式及转动群的不可约表示的直积约化关系即可。

#

24.5

练习24.6  采用与角动量的对易关系(24.27)式为不可约张量算符的定义,由此定义直接证明Wigner-Eckart定理.  （杜花伟）

证明: 令    

     则根据(24.27)式

     得

对于的每个,由给出个非零态矢量.

所以与无关, 因此

#

练习 24.7   证明: 

（做题人：宁宏新）

证明:由Wigner-Eckart定理得

　　　因为有的个数为

　　　所以

#

24.8

24.9

24.10设是电子的轨道和自旋量子数，证明在表象中有： （仪双喜）

（1）

（2）

证明：（1），对于有Wigner—Eckart定理知，

（2），对于有Wigner—Eckart定理知

及证得。

27.1

练习 27.2  （1）根据（27.9）式，证明完全性关系：

     （2） 在表象和表象中，有证明当时有：        （吴汉成）

证：（1） 由（27.9）式可知在位置表象中，有：

   ，，， 

显然有：   ，

               （完全性）

               得证。

（2）由题意可知在表象和表象中，有：

             ，

            得证

#

27.3

练习 27.4  由（27.34）式推出（27.35）式。  （吴汉成）

 解：（27.34）式： 

         两边除以得：

               ，得证。

#

练习 27.5 由（27.30）式证明散射态矢量的正交归一性：（吴汉成）

解：已知：算符，。

     显然得： 

           （）

           （）

#

27.6

27.7

练习 27.8  讨论（27.30）式中的时间反演态，证明：（吴汉成） 

证明：已知：，则得：

              等价  （F为函数）

          ， 

显然得：

即：     得证。

#

练习27.8  讨论（27.30）式的时间反演态，证明：   （刘超）

证明：讨论的时间反演态，这一变换的结果是时间变号，并且函数求复共轭。我们知道动量与时间有关，也与时间有关

又因为

则的时间反演态为

因为为时间反演算符，由时间算符的定义得

即证得

27.9  证明（27.39）式可以写成   （刘超）

证明：因为

所以

用作用得

同理有

所以

即证得：可以写成

27.10 证明：。   （刘超）

证明：已知LS方程为

                                        （1）

其中零级格林算符的定义是

                                            （2）

用左乘（1）的两边得

                   （3）

由于,故上式可写为

                       （4）

利用格林算符的定义

                                              （5）

可以把（4）式改写成

                                            （6）

跃迁算符的定义为

                                                   （7）

将其代入（1）得

                           （8）

比较（8）和（6）得到

                                                     (9)

由零级格林算符的定义可知：

                                        （10）

从跃迁算符的定义（7）出发，利用LS方程（6）得到

                   （11）

此即 

                                                     (12)

由（10）可知

                                                       （13）

将（9）两端取共轭，并利用（10）与（13）的结果，得到

#

练习27.11. 证明（27.58）式.  （何贤文）

 证明：   利用式（27.30）

式（27.35）

得到

证毕.

练习27.12.证明下列关系成立：   （何贤文）

（1）. 

（2）. 

（3）. 

（4）. 

证明：

练习27.13  定义为    （杜花伟）

                                                      (27.)

证明：（1）                                             （27.65）

(2)当不含束缚本征态时有

                             (27.66)

证明:(1) 由关系式

        得

    （2）当不含束缚本征态时，摩勒算符和是幺正算符.

          根据

          可知

#

27.14 

27.15  求自旋1/2的粒子在势中的微分截面及总截面。（董廷旭）

 解： 系统的哈密顿为当ra时

      因为所以

  设入射粒子的能量为，入射方向为Z方向，粒子的自旋在入射方向上的分量

则入射的态矢量为取一级波恩近似       

式中   

总散射截面               

#