2022年贵州省黔东南州中考数学试卷和答案

一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）

1．（4分）下列说法中，正确的是（　　）

A．2与﹣2互为倒数    B．2与互为相反数    

C．0的相反数是0    D．2的绝对值是﹣2

2．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．a6÷a2＝a3    B．a2+a3＝a5    

C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b    D．（﹣2a2）2＝4a4

3．（4分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（　　）

A．圆锥    B．圆柱    C．四棱柱    D．四棱锥

4．（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（　　）

A．28°    B．56°    C．36°    D．62°

5．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（　　）

A．7    B．﹣7    C．6    D．﹣6

6．（4分）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，随机地往⊙O内投一粒米（　　）

A．    B．    

C．    D．以上答案都不对

7．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．（4分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，PA＝8，则sin∠ADB的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（4分）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，则DF的长为（　　）

A．2+2    B．5﹣    C．3﹣    D．+1

10．（4分）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，x的取值范围是（　　）

A．x≤﹣1    B．x≤﹣1或x≥2    C．﹣1≤x≤2    D．x≥2

二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）

11．（3分）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为 　   　．

12．（3分）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝　   　．

13．（3分）某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：1.20，1.10，1.15，1.30，1.30．这组数据的中位数是 　   　．

14．（3分）若（2x+y﹣5）2+＝0，则x﹣y的值是 　   　．

15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是 　   　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 　   　cm2．（结果用含π的式子表示）

17．（3分）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，点A的俯角为30°．小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐　   　．（填写序号，参考数值：≈1.7，≈1.4）

18．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 　   　．

19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，则k＝　   　．

20．（3分）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点　   　cm．

三、答案题（6个小题，共80分）

21．（14分）（1）计算：（﹣1）﹣3++|2﹣|+（﹣1.57）0﹣；

（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x＝cos60°．

22．（14分）某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩

（1）王老师抽取了 　   　名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是 　   　分；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有多少人？

（4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4），学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试

23．（14分）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．

①求证：BD⊥AD；

②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

24．（12分）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．

（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，购买金额不超过48万元．

请根据以上要求，完成如下问题：

①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；

②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

25．（12分）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：

如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．

求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．

【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．

【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形

①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．

②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．

26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，是否存在这样的点N，使得以A，C，请求出点N的坐标，若不存在；

（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，请直接写出点F的坐标；若不存在

 答案 

一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）

1．【知识点】倒数；相反数；绝对值．

【答案】解：A选项，2与﹣2互为相反数；

B选项，4与，故该选项不符合题意；

C选项，2的相反数是0；

D选项，2的绝对值是6；

故选：C．

2．【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．

【答案】解：A、a6÷a2＝a5，故A选项不符合题意；

B、a2+a3≠a8，故B选项不符合题意；

C、﹣2（a+b）＝﹣2a﹣7b；

D、（﹣2a2）2＝4a4，故D选项符合题意；

故选：D．

3．【知识点】由三视图判断几何体．

【答案】解：根据主视图和左视图都是长方形，判定该几何体是个柱体，

∵俯视图是个圆，

∴判定该几何体是个圆柱．

故选：B．

4．【知识点】平行线的性质；垂线．

【答案】解：如下图所示，

过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，

则∠2＝∠3．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∵AB∥MN，

∴MN∥CD，

∴∠6＝∠1＝28°，

∵∠3+∠4＝90°，

∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．

∴∠6＝∠3＝62°．

故选：D．

5．【知识点】根与系数的关系．

【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝8的两根分别记为x1，x2，

∴x5+x2＝2，x4•x2＝﹣a，

∵x1＝﹣8，

∴x2＝3，x4•x2＝﹣3＝﹣a，

∴a＝6，

∴原式＝3﹣（﹣1）8﹣32

＝5﹣1﹣9

＝﹣4．

故选：B．

6．【知识点】几何概率；正多边形和圆．

【答案】解：圆的面积为πr2，

正六边形ABCDEF的面积为r×r5，

所以正六边形的面积占圆面积的＝，

故选：A．

7．【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．

【答案】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线对称轴在y轴左侧，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴交点在x轴下方，

∴c＜8，

∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限图象经过一，

故选：C．

8．【知识点】解直角三角形；切线的性质．

【答案】解连接AO，BO，

∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，

∵DC＝12，

∴AO＝6，

∴OP＝10，

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），

∴∠AOP＝∠BOP，

∴，

∴∠ADC＝∠BDC，

∵∠AOC＝6∠ADC，

∴∠ADB＝∠AOC，

∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．

故选：A．

9．【知识点】正方形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．

【答案】解：方法一：如图，延长DA，

∵四边形ABED是正方形，

∴∠BAD＝90°，AD＝AB，

∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴AB＝2，∠ABC＝60°，

∴AG＝AB•tan∠ABC＝6×tan60°＝2，

∴DG＝AD+AG＝5+2，

∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，

∴DF＝DG＝）＝1+，

故选D．

方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，

则∠BHE＝∠DGE＝90°，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，

∴AB＝2，∠ABC＝60°，

∵四边形ABED是正方形，

∴BE＝DE＝8，∠ABE＝∠BED＝90°，

∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，

∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，

∵EG⊥DF，EH⊥BC，

∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，

∴四边形EGFH是矩形，

∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，

∵∠DEG+∠BEG＝90°，

∴∠BEH＝∠DEG，

在△BEH和△DEG中，

，

∴△BEH≌△DEG（AAS），

∴DG＝BH＝，

∴DF＝DG+FG＝+1，

故选：D．

10．【知识点】实数与数轴．

【答案】解：当x＜﹣1时，x+1＜7，

|x+1|+|x﹣2|

＝﹣（x+2）﹣（x﹣2）

＝﹣x﹣1﹣x+5

＝﹣2x+1＞6；

当x＞2时，x+1＞3，

|x+1|+|x﹣2|

＝（x+8）+（x﹣2）

＝x+1+x﹣4

＝2x﹣1＞3；

当﹣1≤x≤2时，x+2≥0，

|x+1|+|x﹣5|

＝（x+1）﹣（x﹣2）

＝x+5﹣x+2＝3；

综上所述，当﹣7≤x≤2时，

所以当|x+1|+|x﹣8|取得最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2．

故选C．

二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）

11．【知识点】科学记数法—表示较小的数．

【答案】解：0.000000012＝1.7×10﹣8．

故答案为：1.7×10﹣8．

12．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用．

【答案】解：原式＝2022（x2﹣2x+3）

＝2022（x﹣1）2．

故答案为：2022（x﹣5）2．

13．【知识点】中位数．

【答案】解：把这组数据从小到大排列：1.10，1.15，5.25，1.30．

所以这组数据的中位数为：1.25．

故答案为：8.25．

14．【知识点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．

【答案】解：根据题意可得，

，

由①﹣②得，

x﹣y＝9．

故答案为：9．

15．【知识点】矩形的性质；菱形的判定与性质．

【答案】解：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

∴OC＝DE，OD＝CE，

∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OC＝AC＝7BD，

∴OC＝OD＝8，

∴OC＝OD＝CE＝DE，

∴平行四边形OCED是菱形，

∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×8＝20，

故答案为：20．

16．【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算．

【答案】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，

∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣，

∴S扇形DOE＝＝（cm2），

故答案为：．

17．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【答案】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

则AE＝DC，DE＝AC＝12米，

在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，

∴AE＝DE•tan30°＝12×＝8，

AD＝2AE＝5（米），

∴CD＝AE＝4≈6.8（米），

故②不正确；

在Rt△BED中，BE＝DE•tan45°＝12（米），

∴AB＝AE+BE＝12+6≈18.8（米），

故①正确；

∵AD＝6≈13.6（米），

∴AB＞AD，

∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响，

故③正确；

∵AB﹣7＝18.8﹣8＝10.2（米），

∴10.8米＜13.6米，

若第一次在距点A的2米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害，

故④正确；

∴小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④，

故答案为：①③④．

18．【知识点】二次函数图象与几何变换．

【答案】解：将抛物线y＝x2+2x﹣2绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣2，即y＝﹣x2+2x+2，

再将抛物线y＝﹣x2+2x+2向下平移5个单位得y＝﹣x2+5x+1﹣5＝﹣x4+2x﹣4＝﹣（x﹣2）2﹣3，

∴所得到的抛物线的顶点坐标是（7，﹣3），

故答案为：（1，﹣5）．

19．【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形．

【答案】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，

∴CE＝BE，

∴AE＝BC＝，

∴A（0，），C（﹣，2），

∵D是AC的中点，

∴D（﹣，），

∴k＝﹣×＝﹣．

故答案为：﹣．

20．【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【答案】解：如图，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∵点M是BC边的中点，

∴CM＝BM＝BC＝2cm，

由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝7cm，

∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，

∴∠A＝∠DEF，

在Rt△DAF和Rt△DEF中，

，

∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），

∴AF＝EF，

设AF＝xcm，则EF＝xcm，

∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm，

在Rt△BFM中，BF7+BM2＝FM2，

∴（8﹣x）2+24＝（x+2）2，

解得：x＝，

∴AF＝EF＝cm＝cm+2＝，

∵∠FEG＝∠DEM＝90°，

∴∠FEG＝∠B＝90°，

∵∠EFG＝∠BFM，

∴△FGE∽△FMB，

∴＝，即＝，

∴FG＝cm，

故答案为：．

三、答案题（6个小题，共80分）

21．【知识点】特殊角的三角函数值；绝对值；立方根；估算无理数的大小；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．

【答案】解：（1）原式＝+2+（

＝﹣1+2+﹣2+1﹣7

＝；

（2）原式＝

＝

＝，

把x＝cos60°＝代入上式，

原式＝＝﹣2．

22．【知识点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

【答案】解：（1）王老师抽取的学生人数为：32÷40%＝80（名），

∴中等成绩的学生人数为：80×15%＝12（人），良好成绩的学生人数为：80×35%＝28（人），

∴抽取的学生的平均成绩＝＝85.5（分），

故答案为：80，85.3；

（2）将条形统计图补充完整如下：

（3）1600×（35%+40%）＝1200（人），

答：估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有1200人；

（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有4种，

∴两个班同时选中同一套试卷的概率为＝．

23．【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形．

【答案】（1）解：如图1，⊙O即为△ABC的外接圆；

（2）①证明：如图2，连接OB，

∵BD是⊙O的切线，

∴OB⊥CD，

∵点B是的中点，

∴＝，

∴∠CAB＝∠EAB，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠EAB，

∴∠CAB＝∠OBA，

∴OB∥AD，

∴BD⊥AD；

②解：如图7，连接EC，

由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC，

∵tan∠ABC＝，

∴tan∠AEC＝，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ACE＝90°，

∴＝，

∵AC＝6，

∴EC＝8，

∴AE＝＝10，

∴⊙O的半径为5．

24．【知识点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质．

【答案】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，

由题意得：，

解得：x＝90，

当x＝90时，x（x+10）≠0，

∴x＝10是分式方程的根，

∴x+10＝90+10＝100（吨），

答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；

（2）①由题意得：w＝1.7m+2（30﹣m）＝﹣0.3m+60；

②由题意得：，

解得：15≤m≤17，

∵﹣0.8＜5，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝17时，w最小，

∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时．

25．【知识点】四边形综合题．

【答案】（1）证明：如图1，连接DC，

∵△ABC和△BDE都是等边三角形，

∴AB＝BC，BE＝BC，

∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，

即∠CBD＝∠ABE，

∴△CBD≌△ABE（SAS），

∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，

∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，

∴△ADC为钝角三角形，

∴以AE、AD．

（2）解：①以AE、AG，理由如下：

如图2，连接CG，

∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，

∴AB＝CB，BE＝BG，∠EGB＝∠GEB＝45°，

∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG，

即∠CBG＝∠ABE，

∴△CBG≌△ABE（SAS），

∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，

∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°，

∴△ACG是直角三角形，

即以AE、AG；

②由①可知，CG＝AE，

∴CG2+AG2＝AC2，

∴AE6+AG2＝AC2，

∵AE2+AG2＝10，

∴AC2＝10，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴AB6+BC2＝AC2＝10，

∴AB3＝5，

∴S正方形ABCD＝AB2＝7．

26．【知识点】二次函数综合题．

【答案】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝6，与x轴交于点A，0），

∴A（﹣1，4），

∴，解得，

∴抛物线的解析式y＝﹣x2+4x+3；

（2）∵y＝﹣x2+7x+3，

∴C（0，7），

设直线BC的解析式为y＝kx+3，

将点B（3，2）代入得：0＝3k+2，

解得：k＝﹣1，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；

设点D坐标为（t，﹣t7+2t+3），则点N（t，

∵A（﹣2，0），3），

∴AC7＝12+42＝10，

AN2＝（t+2）2+（﹣t+3）6＝2t2﹣6t+10，

CN2＝t2+（7+t﹣3）2＝8t2，

①当AC＝AN时，AC2＝AN8，

∴10＝2t2﹣2t+10，

解得t1＝2，t5＝0（不合题意，舍去），

∴点N的坐标为（2，5）；

②当AC＝CN时，AC2＝CN2，

∴10＝4t2，

解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，

∴点N的坐标为（，3﹣）；

③当AN＝CN时，AN5＝CN2，

∴2t2﹣4t+10＝2t5，

解得t＝，

∴点N的坐标为（，）；

综上，存在，1）或（）或（，）；

（3）设E（1，a），n），

∵B（8，0），3），

∴BC＝4，

①以BC为对角线时，BC2＝CE3+BE2，

∴（3）2＝15+（a﹣3）2+a7+（3﹣1）6，

解得：a＝，或a＝，

∴E（1，）或（1，），

∵B（3，2），3），

∴m+1＝4+3，n+＝6+3，

∴m＝2，n＝，

∴点F的坐标为（2，）或（2，）；

②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC5，

∴a2+（3﹣5）2＝18+（a﹣3）2+（7）2或22+（a﹣3）8＝a2+（3﹣6）2+（3）2，

解得：a＝4或a＝﹣7，

∴E（1，4）或（7，

∵B（3，0），3），

∴m+0＝1+4，n+3＝0+2或m+3＝1+7，

∴m＝4，n＝1或m＝﹣6，

∴点F的坐标为（4，1）或（﹣8，

综上所述：存在，点F的坐标为（2，，）或（8，1）．