山西省怀仁县第一中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知集合，．若，则实数的取值范围是（   ）

A．              B．               C．               D． 

2、设向量，，且，则的值是（   ）

A．                   B．                    C．                    D． 

3、已知在等差数列中，，公差，，则的值为（   ）

A．                    B．                     C．                     D． 

4、已知（），且，则是（   ）

A．第一象限角         B．第二象限角          C．第三象限角          D．第四象限角

5、若，则等于（   ）

A．                    B．                     C．                     D． 

6、在中，内角，，的对边分别是，，，若， 

，则等于（   ）

A．                   B．                    C．                    D． 

7、已知函数是奇函数，其中，则函数

的图象（   ）

A．关于点对称

B．可由函数的图象向右平移个单位得到

C．可由函数的图象向左平移个单位得到

D．可由函数的图象向左平移个单位得到

8、已知命题，函数的值大于．若是真命题，则命题可以是（   ）

A．，使得

B．“”是“函数在区间上有零点”的必要不充分条件

C．是曲线的一条对称轴

D．若，则在曲线上任意一点处的切线的斜率不小于

9、设函数，则不等式的解集为（   ）

A．             B．             C．             D． 

10、公差不为的等差数列的部分项，， 构成等比数列，且，，，则下列项中是数列中的项是（   ）

A．                   B．                   C．                   D． 

11、若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（   ）

A．                  B．                  C．                  D． 

12、已知函数（）．若存在，使得，则实数的取值范围是（   ）

A．            B．            C．            D． 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．

13、若，则的最小值为            ．

14、在中，点在线段的延长线上，且，当时，则            ．

15、若不等式在恒成立，则实数的最小值为            ．

16、数列是首项为，公差为的等差数列，其中，且．设，若中的每一项恒小于它后面的项，则实数的取值范围为            ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分10分）

在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）若，求的面积；

（2）若，求的最小值．

18、（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）在数列中，，，求数列的前项和．

19、（本小题满分12分）

某市欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边），已知， ， ，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．

（1）求曲线与，所围成区域的面积；

（2）求该公园的最大面积．

20、（本小题满分12分）

已知数列，，当时，．

（1）求数列及数列的通项公式；

（2）令，设为数列的前项和，求．

21、（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若，求函数的值域．

22、（本小题满分12分）

设函数．

（1）若存在最大值，且，求的取值范围；

（2）当时，试问方程是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．

高三数学试卷参（理科）

1、B  集合， ， ．

2、C  由得，即，解得．

3、D  ，得．

4、B  （），，由得， ，则是第二象限角．

5、C  由，，解得．

6、A  若，，则，

，又，则．

7、C  由已知得函数为奇函数，则由得， ，，则将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象，故选C．

8、C  可判断命题是假命题，若是真命题，则命题为真命题．A，B，D均不正确．，则是曲线的一条对称轴，故选C．

9、D  易证得函数在上单调递增．当时，得，则；当时，得，则．综上得不等式的解集为．

10、A  设数列的公差为（），，，成等比数列， ，得， ，，则，即．当时，；当时，．故选A．

11、A  向量，的夹角为钝角，当与垂直时，取最小值，即． ，， ，与夹角为． ， 的终点在如图所示的圆上， ，，当与共线时，取最大值，此时．

12、B  ，设，若存在，使得，则函数在区间上存在子区间使得成立．，设，则或，即或，得．

13、  在上单调递增，当时，函数取最小值．

14、  点在线段的延长线上，且， ，则

， ．

15、  ，即，由题意得在恒成立，即当时，函数的图象不在图象的上方，由图知且，解得．

16、  由题意得，则， ，即数列是以为首项，为公比的等比数列．，要使对一切恒成立，即对一切恒成立．当时， 对一切恒成立；当时，，对一切恒成立，只需， 单调递增，当时，， ，且， ．

综上，．

17、解：由条件结合正弦定理得：，

从而，， ， ．…………………………3分

（1）由正弦定理得： ，

．…………………………5分

（2）．

又，当且仅当时，等号成立．

．…………………………10分

18、解：（1）当时，， ，

当时， ，

得：，即，

数列是首项为，公比为的等比数列， ．…………………………5分

（2），当时，，则，，

相加得，

当时，， ．

，

．…………………………12分

19、解：（1）以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设曲线所在抛物线的方程为（），

抛物线过， ，得，

所在抛物线的方程为，…………………………4分

曲线与，所围成区域的面积．………………5分

（2）又，，则所在直线的方程为，

设（），则，，，

公园的面积（），

，令，得或（舍去负值），

当变化时，和的变化情况如下表：

20、解：（1）当时，；

令，则数列是以首项，公差为的等差数列，；

．…………………………5分

（2）

，

记，则，

得：，

．

故．…………………………12分

21、解： 

…………………………2分

（1）令，，

解得，，即，，

， 的递增区间为．…………………………6分

（2）

， ，则，

当时，取最大值；当时，取最小值．

函数的值域为．…………………………12分

22、解：（1）的定义域为，．

当或时，在区间上单调，此时函数无最大值．

当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，

所以当时，函数有最大值．

最大值．

因为，所以有，解之得．

所以的取值范围是．…………………………5分