2012年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 权限=  (  )

A．0

B．2

C．3

D．5

正确答案：B           

解析：根据题意：

2． 设f(x)-，由函数f(x)的第一类间断点的个数为    (    )

A．0

B．1

C．2

D．3

正确答案：C           

解析：第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点，由题意得： 则x=0为第一类间断点(跳跃间断点)．②同理，x=2时，为第一类可去间断点．③同理，x=-2时，为第二类间断点．所以，答案为

C．

3． 设，则函数f(x)    (    )

A．只有一个极大值

B．只有一个极小值

C．既有极大值又有极小值

D．没有极值

正确答案：C           

解析：根据题意：  得x=1为f(x)的零点．由此可知  x=0时，为f(x)的不可导点，故选

C．

4． 函数在点(1，1)处的全微分为    (    )

A．dx-3dy

B．dx+3dy

C．

D．

正确答案：A           

解析：  将(1，1)代入，得dz=dx-3dy，故选A．

5． 二次积分∫01dy∫y1f(x，y)dx在极坐标系下可化为    (    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：B           

解析：根据题意该二重积分D为如图可知

6． 下列级数中条件收敛的是    (    )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D           

解析：由条件收敛定义得则A、B均发散，又因为绝对收敛，所以C也不符合，D为条件收敛．

填空题

7． 要使函数f(x)=在点x=0处连续，则应补充定义f(0)=________．

正确答案：e-4           

解析：由题意知 若f(x)=在点x=0处连续，  即答案为e-4．

8． 设函数y=x(x3+2x+1)+e2x，则y(7)(0)=_______．

正确答案：128           

解析：由题意可知  y=x4+2x2+x+e2x，  得y(7)=27e2x  可知y(1)(0)=27=128，故答案为128．

9． 设y=x2(x＞0)，则函数y的微分dy=_______．

正确答案：xx(lnx+1)dx           

解析：令y=exlnx  则dy=xx(lnx+1)dx．

10． 设向量a，b互相垂直，且｜a｜=3，｜b｜=2，则｜a+2b｜=_______．

正确答案：5           

解析：由题意可知  ｜a｜=3，｜b｜=2，则｜a+2b｜2=a2+4a.b+4b2=9+0+4×4=25，所以｜a+2b｜=5．

11． 设反常积分∫a+∞e-xdx=，则常数a=______．

正确答案：ln2           

解析：∫a+∞e-xdx=-e-x／a+∞=-e-x+e-a=，得a=ln2．

12． 幂级数的收敛域为______．

正确答案：(0，6]           

解析：因此，收敛域为(0，6]．

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

13． 求极限．

正确答案：           

解析：

14． 设函数y=y(x)由参数方程所确定，求

正确答案：           

解析：

15． 求不定积分

正确答案：2xtanx+2ln｜cosx｜+tanx+C           

解析：

16． 计算定积分

正确答案：           

解析：当x=1时，t=1，x=2时，t=则

17． 已知平面Ⅱ通过点M(1，2，3)与x轴，求通过点N(1，1，1)且与平面Ⅱ平行，又与x轴垂直的直线方程．

正确答案：           

解析：因为平面Ⅱ过x轴所以必过(1，0，0)，则平面Ⅱ的注向量，n===(0，3，-2)，直线方向向量S=nxt==(0，-2，-3)，因为直线过点(1，1，1)，所以直线方程为：

18． 设函数z=f(x，xy)+φ(x2+y2)，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数φ具有二阶连续导数，求．

正确答案：xf12”+xy22”+f2’+4xyφ”           

解析：=f1’+f2’y=φ2’x，=f11”+x.f12”+y．0．f21”+xyf22”+f2’+2x.0φ”+2y2xφ”=xf12”+xyf22”+f2’+4xyφ”．

19． 已知函数f(x)的一个原函数为xex求微分方程y”+4y’+4y=f(x)的通解．

正确答案：y=(C1+C2x)e-2x+           

解析：因为∫f(x)dx=xex+C，所以f(x)=ex+xex=(1+x)ex．当y”+4y’+4y=0，通解为r2+4r+4=0，得r1=r2=-2，则y=(C1+C2x).e-2x．因为1不是特征根，所以将yx=(Ax+B)ex代入原方程得所以通解为y=(C1+C2x)e-2x+

20． 计算二重积分其中D是由曲线直线及x轴所围成的平面闭区域．

正确答案：           

解析：原方程=∫01ydy∫2yy2+1dx  =∫01y[y2+1—2y]dy=．

综合题

21． 在抛物线y=x2(x＞0)上求一点P，使该抛物线与其在点P处的切线及x轴所围平面图形的面积为，并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

正确答案：           

解析：如图设P点(x0，x02)，则k=2x0，直线方程y=2x0(x—x0)，即y+x02=2x0x．由题意得所以x0=2．所以有P(2，4)，则Vx=∫02x4dx-π∫12(4x-4)2dx=．

22． 已知定义在(-∞，+∞)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4∫1xf(t)=x3-3，试求：  (1)函数f(x)的表达式；  (2)函数f(x)的单调区间与极值；  (3)曲线f(x)的凹凸区间与拐点．

正确答案：①f(x)=x3-3x2．    ②单调区间：(-∞，0)U(2，+∞)递增  (0，2)递减    极值：x=0时极大值0，x=2时极小值-4．    ③x∈(-∞，1)，凹区间，x∈(1，+∞)，凸区间，拐点：(1，-2)．           

解析：①因为f(x)+xf(x)-4(2x)=3x2(对方程两边求导)，即y’-=3x．所以P(x)=，Q(x)=3x，y=-3x2+Cx3．由题意得f(1)=-2，所以C=1．所以f(x)=x3-3x2．②令f’(x)=3x2-6x=0，则x1=0，x2=2，当在(-∞，0)U(2，+∞)函数单调递增；当在(0，2)函数单调递减．所以在x=0处取极大值f(4)=0，在x=2取极小值f(2)=-4． ③令f”(x)=6x-6=0，得x3=1，所以当x∈(-∞，1)时，为凹区间；当z∈(1，+∞)为凸区间，拐点为(1，-2)．

证明题

23． 证明：当0＜x＜1时,arcsinx＞x+．

正确答案：令f(x)=arcsinx-x-，有f(0)=0，x∈(0，1)，所以f(x)单调递增,所以f’(x)＞f’(0)=0．所以f(x)单增．所以f(x)＞0，得证．   

24． 设f(x)=其中函数g(x)在(-∞，+∞)上连续，且=3．证明：函数f(x)在x=0处可导，且f’(0)=

正确答案：因为左右导数相等，所以，命题得证．