3.1.1 方程的根与函数的零点练习题及答案解析

1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(　　)

A．0　　　　　　　　　　    B．1

C．2      D．3

解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，

∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.

2．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(　　)

C．(1,2)      D．(2,3)

解析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.

3．(2018年高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．0      B．1

C．2      D．3

解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.

4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．

解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.

答案：0和2

1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)

A．0,2      B．0，－

C．0，      D．2，

解析：选B.由题意知2a＋b＝0，

∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，

使g(x)＝0，则x＝0或－.

2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＜1      B．a＞1

C．a≤1      D．a≥1

解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.

3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1,2)      B．(2,3)

C．(3,4)      D．(e,3)

解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，

∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．

4．下列函数不存在零点的是(　　)

A．y＝x－      B．y＝

C．y＝      D．y＝

解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；只有D中函数无零点．

5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为(　　)

A．0      B．1

C．2      D．无法确定

解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．

6．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1)      B．(1,2)

C．(2,3)      D．(3,4)

解析：选B.设f(x)＝x3－()x－2，

则f(0)＝0－()－2<0；f(1)＝1－()－1<0；f(2)＝23－()0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．

7．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，

由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，

故x＝－3，即另一个零点为－3.

答案：－3

8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，

所以或解得a≥或a≤－1.

答案：a≥或a≤－1.

9．下列说法正确的有________：

①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．

②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．

③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.

④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．

解析：①错，如图．

②错，应有三个零点．

③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.

④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.

答案：③④

10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．

解：设f(x)＝x2－2ax＋a.

由题意知：f(0)·f(1)＜0，

即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．

或

∴a＜0或a＞1.

11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？

解：设f(x)＝log2x＋x2，

∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0，

f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有实根．

12．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，

(1)方程有一正一负两根；

(2)方程的两根都大于1；

(3)方程的一根大于1，一根小于1.

解：(1)因为方程有一正一负两根，

所以由根与系数的关系得，

解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．

(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，

所以必须满足，或，不等式组无解．

所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.

法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，

即

⇒.

所以⇒，不等式组无解．

即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.

(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，

所以必须满足或，解得a＞0.

∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.