安徽省安庆市桐城十中2015届高三上学期期末考试数学(文)试卷

一、选择题（本题共10题，每题5分，共50分）

1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（　　）

　 A． {0} B． {﹣1，0} C． {0，1} D． {﹣1，0，1}

2．已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（　　）

　 A． 5﹣5i B． 7﹣5i C． 5+5i D． 7+5i

3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）

　 A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|

4．设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　）

　 A． 4 B． ﹣ C． 2 D． ﹣

5．若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（　　）

　 A．  B． 21cm2 C．  D． 24cm2

6．设sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（　　）

　 A． ﹣6 B． ﹣4 C． ﹣2 D． 2

7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（　　）

　 A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣2

8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是（　　）

（1）＜；  （2）a3＞b3；

（3）a2+1＞b2+1；  （4）2a＞2b．

　 A． （2）（3） B． （1）（3） C． （3）（4） D． （2）（4）

10．袋有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

二、填空题（本题共5题，每题5分，共25分）

11．若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为　　　　　　．

12．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的　　　　　　条件．

13．若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=　　　　　　．

14．设、为两非零向量，且满足，则两向量、的夹角的余弦值为　　　　　　．

15．（理）在数列{an}中，a1=6，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x﹣y=上，则数列{}的前n项和Sn=　　　　　　．

三、解答题（本题6题共75分）

16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

17．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？

（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．

18．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．

（1）证明：DE∥平面BCF；

（2）证明：CF⊥平面ABF；

（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．

19．设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx满足f′（）=0

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=2（an+）求数列{bn}的前n项和Sn．

20．为响应国家扩大内需的，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4﹣（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．

（1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

21．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

2014-2015学年安徽省安庆市桐城十中高三（上）期末数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本题共10题，每题5分，共50分）

1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（　　）

　 A． {0} B． {﹣1，0} C． {0，1} D． {﹣1，0，1}

考点： 交集及其运算．

专题： 集合．

分析： 找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．

解答： 解：∵ A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，

∴A∩B={﹣1，0}．

故选B

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（　　）

　 A． 5﹣5i B． 7﹣5i C． 5+5i D． 7+5i

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．

解答： 解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．

故选C．

点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）

　 A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|

考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．

解答： 解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，

故选：C．

点评： 本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

4．设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　）

　 A． 4 B． ﹣ C． 2 D． ﹣

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．

专题： 计算题．

分析： 欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．

解答： 解：f′（x）=g′（x）+2x．

∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，

∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，

∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．

故选：A．

点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．

5．若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（　　）

　 A．  B． 21cm2 C．  D． 24cm2

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题．

分析： 三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．

解答： 解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长问 的正方形，高为1的四棱锥，

组合体的表面积为：=

故选A．

点评： 本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．

6．设sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（　　）

　 A． ﹣6 B． ﹣4 C． ﹣2 D． 2

考点： 等差数列的通项公式．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由题意可得，解此方程组，求得首项和公差d的值，即可求得a9的值．

解答： 解：∵sn为等差数列{an}的前n项和，s8=4a3，a7=﹣2，即．

解得 a1=10，且d=﹣2，∴a9=a1+8d=﹣6，

故选A．

点评： 本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．

7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（　　）

　 A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣2

考点： 函数奇偶性的性质；函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．

解答： 解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，

故选D．

点评： 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．

8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 余弦定理；正弦定理．

专题： 解三角形．

分析： 由正弦定理将3sinA=5sinB转化为5b=3a，从而将b、c用a表示，代入余弦定理即可求出cosC，即可得出∠C．

解答： 解：∵b+c=2a，

由正弦定理知，5sinB=3sinA可化为：5b=3a，解得c=b，

由余弦定理得，cosC==，

∴C=，

故选：B．

点评： 本题考查等差数列的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是（　　）

（1）＜；  （2）a3＞b3；

（3）a2+1＞b2+1；  （4）2a＞2b．

　 A． （2）（3） B． （1）（3） C． （3）（4） D． （2）（4）

考点： 不等关系与不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： （1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，即可判断出；

（2）由a＞b，可得a﹣b＞0，利用立方差公式展开并配方可得a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）=，即可判断出；

（3）a2+1﹣（b2+1）=a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），若a+b＜0，则不成立；

（4）考察指数函数y=2x在R上单调递增，即可判断出．

解答： 解：（1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，但是不成立；

（2）∵a＞b，∴a﹣b＞0，

∴a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）=＞0，

∴a3＞b3．

（3）a2+1﹣（b2+1）=a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），若a+b＜0，则不成立；

（4）考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．因此正确．

综上可得：只有（2）（4）正确．

故选：D．

点评： 本题考查了不等式的性质、乘法公式、指数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．

10．袋有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（　　）

　 A．  B．  C．  D． 

考点： 等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

专题： 概率与统计．

分析： 首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答： 解：根据题意，袋有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，

6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；

则两球颜色为一白一黑的概率P==；

故选B．

点评： 本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式．

二、填空题（本题共5题，每题5分，共25分）

11．若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为　6　．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．

解答： 解：画出可行域如图阴影部分，

由得A（4，2）

目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，

由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+2=6

故答案为：6．

点评： 本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．

12．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的　充分不必要　条件．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：由“（a﹣b）a2＜0”得a≠0，且a﹣b＜0，即a＜b成立，

若a=0，且a＜b时，（a﹣b）a2=0，此时不等式（a﹣b）a2＜0不成立，

故“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件；

故答案为：充分不必要．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．

13．若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=　　．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的概念及应用．

分析： 先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．

解答： 解：由题意得，

∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，

∴2a﹣1=0，得a=，

故答案为：．

点评： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．

14．设、为两非零向量，且满足，则两向量、的夹角的余弦值为　﹣　．

考点： 数量积表示两个向量的夹角．

专题： 计算题．

分析： 先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可．

解答： 解：设向量、的夹角为θ；

因为，

∴=9=（+2）2=+4•+4；

即=+4||•||cosθ+4=+4||•||cosθ+4×⇒1=1+cosθ+⇒cosθ=﹣．

故答案为：﹣．

点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义以及计算能力，属于基础题，送分题．

15．（理）在数列{an}中，a1=6，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x﹣y=上，则数列{}的前n项和Sn=　　．

考点： 数列的求和；数列的函数特性．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 根据一个点在一条直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理成一个新等差数列，看出首项和公差，写出新数列的通项公式，求出原数列的通项公式，代入数列的前n项和公式，求出即可．

解答： 解：∵点（）在直线x﹣y=上，

则，

又，

∴{}是以为首项，为公差的等差数列，

∴，

即an=6n2，

则=

所以

=

故答案为：

点评： 本题考查等差数列，考查等差数列的性质，考查等差数列的通项，是一个简单的综合题目，可以单独作为选择或填空出现．

三、解答题（本题6题共75分）

16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

考点： 正弦定理；余弦定理．

专题： 解三角形．

分析： （Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，

∵sinB≠0，∴sinA=，

又A为锐角，

则A=；

（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=﹣3bc，

∴bc=，又sinA=，

则S△ABC=bcsinA=．

点评： 此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

17．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？

（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．

考点： 古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．

专题： 概率与统计．

分析： （1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．

（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．

（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．

解答： 解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．

（2）重量在[80，85）的有个．

（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1． 重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：

（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．

设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，

所以．

点评： 本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了

总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．

18．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．

（1）证明：DE∥平面BCF；

（2）证明：CF⊥平面ABF；

（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．

考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

专题： 空间位置关系与距离；立体几何．

分析： （1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．

（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．

（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 ，运算求得结果．

解答： 解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，

∴DE∥BC．

又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，

∴DE∥平面BCF．

（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．

∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．

又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．

（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．

∴=．

点评： 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．

19．设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx满足f′（）=0

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=2（an+）求数列{bn}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和；导数的运算；等差关系的确定；等比关系的确定．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： （I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{an}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an；

（II）利用（I）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn．

解答： 解：（I）∵f′（x）=an﹣an+1+an+2﹣an+1sinx﹣an+2cosx，．

∴2an+1=an+an+2对任意n∈N*，都成立．

∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．

∴an=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1．

（II）由（I）可得，=2（n+1）+，

∴Sn=2[2+3+…+（n+1）]+

=

=．

点评： 数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．

20．为响应国家扩大内需的，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4﹣（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．

（1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： （1）先求出k的值，再根据产品成本包括固定投入和再投入两部分，可得该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）由（1）知y=27﹣=27.5﹣[]，利用基本不等式，可求该厂家2013年的厂家利润最大．

解答： 解：（1）由题意有1=4﹣，得k=3，故x=4﹣．

∴y=1.5××x﹣（6+12x）﹣t=3+6x﹣t=3+6（4﹣）﹣t=27﹣﹣t（t≥0）．

（2）由（1）知y=27﹣﹣t=27.5﹣[]

∵≥2=6，

当且仅当，即t=2.5时，等号成立，

∴y=27.5﹣[]≤27.5﹣6=21.5．

当t=2.5时，y有最大值21.5．

∴2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．

点评： 本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．

21．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；

（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；

（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，

∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．

（Ⅱ）f′（x）=1﹣，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；

②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；

∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．

（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，

等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．

假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．

又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

所以k的最大值为1．

点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．