全等三角形专题讲解

专题一  全等三角形判别方法的应用

专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：

1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）

2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）

3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）

4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）

而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．

分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO为公共边，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90º，

∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由

AE=AD，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC为公

共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又

∠EAO=∠DAO， AO为公共边，所以△ABO≌△ACO．   图1

所以图中全等的三角形一共有4对．

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．

分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，

所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．

要使△ABC≌△ADE，根据SAS可知只需AC=AE         图2

即可；根据ASA可知只需∠B=∠D；根据AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．

求证：AO平分∠BAC．

分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，

要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．

证明：连结BC．

因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．

因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．          图3

即∠3=∠4，所以BO=CO．

因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，

所以△ABO≌△ACO．

所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法． 

例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．

求证：∠ADC=∠BDF．

证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，

所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，

CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．

因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以             图4

△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

．

（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法

例5  要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件

，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数

学知识按以下要求设计一测量方案﹒

(1)画出测量图案﹒

(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒              图5         

(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒

分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测得CD的长为，则AB的长就是．第(3)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测得CD的长即可得AB的长．

解：(1)如图6示．

(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并测

得OD＝OB，这时测出CD的长为，则AB的长就是．

(3)理由：由测法可得OC=OA，OD=OB．

又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．

∴CD=AB=．                                      图6

专题二  角的平分线

从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．

（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等

例6 如图20，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，

BD⊥OA于D，交点为C． 

求证：AC=BC．                                  图20

证法：∵AE⊥OB，BD⊥OA，∴∠ADC=∠BEC=．

∵∠1＝∠2，∴CD=CE．

在△ACD和△BCE中，

∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3＝∠4．

∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴AC=BC．

说明：本题若用全等方法证明点C到OA、OB距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．

例7 已知：如图21，△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．

求证：AD平分∠BAC．

证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．      图21

在△BED与△CFD中，∠1＝∠2，∠BED＝∠CFD＝，BD=CD，

∴△BED≌△CFD(AAS)．

∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．

说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．

（2）利用角的平分线构造全等三角形

①过角平分线上一点作两边的垂线段

例8 如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．

求证：AE=ED．

分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段．

证明：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，作EG⊥BC，垂足为G，作EH⊥CD，垂足为H．

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF=EG．同理EG =EH．∴EF=EH．

∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．

∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90º．       图22

在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．

∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．

②以角的平分线为对称轴构造对称图形

例9 如图23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．

求证：AB=AC+CD．

分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．

证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD．             图23

在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD，AE=AC，

∴△EAD≌△CAD．∴∠AED=∠C，CD=DE．

∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B．

∵∠AED=∠B+∠EBD，∴∠B=∠EDB．

∴BE=ED．∴BE=CD．

∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．

③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线

例10 如图24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．

求证：∠ACE=∠B+∠ECD．

分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．

证明：延长CE交AB于点F．

∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．

∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90º．

在△FEA和△CEA中，

∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．            图24

∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．

∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．

（3）利用角的平分线构造等腰三角形

如图25，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作

DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．

因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，

构造等腰三角形． 图25

例11 如图26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．

求证：CD=BE．

分析：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等．

证明：过点D作DF∥AB交BC于点F．

∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．

∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．          图26

∴∠2=∠3，∴DF=BF．

∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º．

∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．

∴∠4=∠C，CD=DF．

∴CD=EF=BF，即CD=BE．