2020-2021学年上学期高一第一次月考数学试卷含解析

一、选择题（每题5分，共60分）1、下列各组对象中能构成集合的是（）

A

的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数

D ．未来世界的高科技产品

2、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

3、下列集合表示同一集合的是()

A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}

B ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}

C ．M ＝{4，5}，N ＝{5，4}

D ．M ＝{1，2}，N ＝{(1，2)}

4、下列集合中，表示方程组3

1x y x y +=⎧⎨-=⎩

的解集的是（

）

A ．{}

2,1B ．{}

2,1x y ==C ．

(){}2,1D ．()

{}

1,25、图中阴影部分所表示的集合是（

）

A ．()U C A C

B B ．()()A B B

C ⋃⋃⋃C ．()()

U A C C B D ．()U C A C B ⋂⋃6、若﹣1∈{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}，则a ＝（）A ．﹣1

B ．0

C ．1

D ．0或1

7、下列各组函数中表示同一函数的是（）

A ．0

()1()f x g x x

==，B ．29

()3()3

x f x x g x x -=+=

-，

C ．()()f x g x x

==D ．()()f x x g x ==，8、已知非零实数a ，b ，c ，则代数式||||

||a b c b a c ++表示的所有的值的集合是（）

A ．{3}

B ．{3}

-C ．{3,3}

-D ．{3,3,1,1}

--9、设U ＝{1，2，3，4，5}，若A B ＝{2}，{}()4U C A B ⋂=，{}()()1,5U U C A C B ⋂=，则下列结论正确的是（）

A ．3A ∉且3

B ∉B ．3A ∈且3B ∉

C ．3A ∉且3B

∈D ．3A ∈且3B

∈10、已知集合{}

{}2

|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件

A C

B ⊆⊆的集合

C 的个数为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11、已知集合{41,}M x

x n n Z ==+∈∣，{21,}N x x n n Z ==+∈∣，则（）

A ．M N

⊆B ．N M

⊆C ．M N

∈D ．N M

∈12、定义集合的商集运算为

,,B n

x x m A n B A m ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭

.已知集合{}246A =，

，1,2k B x x k A ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭

，则集合B

B A ⋃中的元素个数为（

）A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

二、填空题（每题5分，共20分）

13、集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．14、集合{|32}x x ∈-。

15、某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

．

16、已知全集*U N =，集合{

}2

*

120,A x

x px x N =++=∈∣，

{}2*50,B x x x q x N =-+=∈∣，且(){}2U C A B ⋂=，(){}4U A C B = ，则p q +=__________.

三、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17、设函数()2

2,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，（1）求()32,

2f f f ⎡⎤

⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

的值；（2）若()3f x =，求x 的值.

18、解下列各题:（1）已知函数

()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.

（2）已知函数y

R ，求实数m 的取值范围．

19、设集合222{|320}{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=，（）．（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．

20、根据下列条件，分别求f (x )的解析式.

（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式；（2）已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式；（3）已知12()(0)f f x x x x ⎛⎫

+=≠

⎪⎝⎭

，求f (x )的解析式.21、设数集A 由实数构成：且满足：若()1,0x A x x ∈≠≠，则1

1A x

∈-（1）若2A ∈,试证明A 中还有另外两个元素；（3）若集合A 是有限集，求集合A 中所有元素的积。

22、已知集合{}

015A x ax =<+≤，集合1

22B x x ⎧⎫=-

<≤⎨⎬⎩

⎭

.（1）若A B ⊆,求实数a 的取值范围（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围;

一、选择题（每题5分，共60分）

1、下列各组对象中能构成集合的是（）

A

的实数的全体B．数学成绩比较好的同学

C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品

【解析】选项A、B、D中集合的元素不满足确定性，故选：C.

2、下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y ＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C．

3、下列集合表示同一集合的是()

A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4}D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}

【解析】对于A，两个集合中的元素不同，对于选项B，一个集合中元素是点，一个元素是实数，不是同一个；对于C，列举法法表示集合时，与元素顺序无关，故是相同的集合；对于D，一个元素是数，一个元素是点，故不同.故选C.

4、下列集合中，表示方程组

3

1

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

的解集的是（）A ．{}2,1

B ．{}

2,1x y ==C ．

(){}

2,1D ．()

{}

1,2【答案】C

【解析】解方程组3

1x y x y +=⎧⎨-=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩

即(2,1)，所以方程组的解集(){}2,1.

故选：C

5、图中阴影部分所表示的集合是（）

A ．()U C A C

B B ．()()A B B

C ⋃⋃⋃C ．()()U A C C B

D ．()U C A C B

⋂⋃【答案】C

【解析】由韦恩图可知：阴影部分所表示的集合为集合,A C 的并集与集合B 在全集U 中补集的交集，即为()()U A C C B ，故本题选C.6、若﹣1∈{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}，则a ＝（）A ．﹣1B ．0

C ．1

D ．0或1

【答案】B

【解析】因为﹣1∈{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}，

①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1，a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．

7、下列各组函数中表示同一函数的是（）

A ．0

()1()f x g x x ==，B ．29

()3()3

x f x x g x x -=+=

-，

C ．()()f x g x x

==D ．()()f x x g x ==

，【答案】C

【解析】解：由于()1f x =的定义域为R ，0()g x x =的定义域是{|0}x x ≠，显然这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A ．

由于()3f x x =+的定义域为R ，29

()3

x g x x -=-的定义域是{|3}x x ≠，显然这两个函数的

定义域不同，故不是同一个函数，故排除B ．

由于()f x x =

=的定义域为R ，

对应关系是“取绝对值”，而()g x x =的定义域为R ，对应关系是“取绝对值”，故()f x 和()g x 表示同一函数，故C 满足条件．

由于()f x x =的定义域为R ，()g x x =

=的定义域为R ，显然这两个函数的对应关

系不同，故不是同一个函数，故排除D ．故选：C ．

8、已知非零实数a ，b ，c ，则代数式||||

||a b c

b a

c ++表示的所有的值的集合是（）

A ．{3}

B ．{3}

-C ．{3,3}

-D ．{3,3,1,1}

--【答案】D

【解析】当,,a b c 都为正数时，

1||||||

a b a b c c ===；当,,a b c 都为负数时，1||||||

a b c a b c ===-.因此，若,,a b c 都为正数，则3||||||a b c a b c ++=；若,,a b c 两正一负，

则

1||||||a b a b c c ++=；若,,a b c 一正两负，则1||||||

a b c

a b c ++=-；若,,a b c 都为负数，则3||||||

a b c a b c ++=-.所以代数式||||||a b c b a c ++表示的所有的值的集合是{3,1,1,3}--.

故选：D.

9、设U ＝{1，2，3，4，5}，若A B ＝{2}，{}()4U C A B ⋂=，{}()()1,5U U C A C B ⋂=，则下列结论正确的是（）

A ．3A ∉且3B

∉B ．3A ∈且3B

∉

D ．3A ∈且3B

∈【答案】B

【解析】因为U ＝{1，2，3，4，5}，若A B ⋂＝{2}，(){}4U C A B ⋂=，

()(){}1,5U U C A C B ⋂=，所以画出韦恩图：

∴={2,3}A ，={2,4}B ，则3A ∈且3B ∉，故选B.

10、已知集合{}

{}2

|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件

A C

B ⊆⊆的集合

C 的个数为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】求解一元二次方程，得

{}

()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .

因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.

11、已知集合{41,}M x

x n n Z ==+∈∣，{21,}N x x n n Z ==+∈∣，则（）

A ．M N ⊆

B ．N M

⊆C ．M N

∈D ．N M

∈【答案】A

【解析】{41,}{221,}M x

x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈ ∣∣，当n 为整数时，2n 为偶数，又{21,}N x

x n n Z ==+∈ ∣，因此，M N ⊆.故选： A.12、定义集合的商集运算为,,B n

x x m A n B A m ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭

.已知集合{}246A =，

，

1,2k B x x k A ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭

，则集合B

B A ⋃中的元素个数为（

）A ．6B ．7

C ．8

D ．9

【答案】B

【解析】由题意知，{}012B =，

，11110,,,,1,2463B A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则11110,,,,1,,22463B B A ⎧⎫

⋃=⎨⎬⎩⎭

，共有7个元素.故选：B .

二、填空题（每题5分，共20分）

13、集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．【答案】(,1)(1,5]

-∞ 【解析】因为集合A ={x |x ≤5且x ≠1}，表示从负无穷到5（包括5）去掉1，所以用区间表示为(,1)(1,5]-∞ .

14、集合{|32}x x ∈-。

【解析】由题意5x <，又x ∈N ，∴集合为{0,1,2,3,4}．

15、某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．【答案】12

【解析】解：设有x 人既喜爱篮球也喜爱乒乓球，则21182050x +-+=，解得9x =，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为21912-=．

16、已知全集*U N =，集合{

}2*

120,A x

x px x N =++=∈∣，

{}2*50,B x x x q x N =-+=∈∣，且(){}2U C A B ⋂=，(){}4U A C B = ，则p q +=__________.

【答案】-1

【解析】由2B ∈，2A ∉，所以22520q -⨯+=，解得：6

q =4A ∈，4B ∉，所以244120p ++=，解得：7p =-，

当7p =-时，27120x x -+=，解得：3x =或4x =，即{}3,4A =成立，

当6q =时，2560x x -+=，解得：2x =或3x =，即{}2,3B =成立，所以1p q +=-.故答案为：-1

三、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17、设函数()2

2,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，（1）求()32,

2f f f ⎡⎤

⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

的值；（2）若()3f x =，求x 的值.【答案】（1）90,

2

；（2

【解析】（1）()2220f -=-+=；

2

339224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

399922442f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

；

（2）由题意123x x ≤-⎧⎨+=⎩，或2123x x -<<⎧⎨=⎩，或2

23x x ≥⎧⎨=⎩

，解得x =18、解下列各题:（1）已知函数

()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.

（2）已知函数y

R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[]2,3（2）m ∈[0，1]

【解析】解：（1）)1(f x + 的定义域是[1，2]，12x ∴ ，得213x + ，即()f x 的定义域为[2，3]，

（2）①当m ＝0时，y

R .

②当m ≠0时，由定义域为R 可知，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有

2

(6)4(8)0m m m m >⎧⎨∆=--+≤⎩

，解得0（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）3a =-或1a =；（2）{|3a a - 或7

}3

a >.

【解析】（1）集合{}2

{|320}1

2A x x x =-+==，若{}2A B ⋂=，则2x =是方程22150x a x a +-+-=（）的实数根，可得：2230a a +-=，解得3a =-或1a =；

（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，当B =∅时，方程22150x a x a +-+-=（）无实数根，

即2

21450a a ---（）（）＜，解得：3a -＜或a ＞

7

3

；当B ≠∅时，方程22150x a x a +-+-=（）有实数根，

若只有一个实数根，()2222

1150421501450a a a a a a ⎧+-+-=+-+-=⎨=---=⎩ 或（）（），解得：3a =-．若只有两个实数根，x=1、x=2，2

1211250a a +=-⎧⎪⨯=-⎨⎪>⎩

,无解.

综上可得实数a 的取值范围是{a|a≤-3或a＞7

3

}20、根据下列条件，分别求f (x )的解析式.

（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式；（2）已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式；（3）已知12()(0)f f x x x x ⎛⎫

+=≠

⎪⎝⎭

，求f (x )的解析式.【答案】（1）f (x )＝x ＋3；（2）f (x )＝x 2＋2x －2；（3）2()(0)33

x

f x x x =

-≠【解析】（1）解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得22

329a a b =⎧⎨

+=⎩

，∴a ＝1，b ＝3，∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.

（2）设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.

（3）解1()2f x f x x ⎛⎫

+=

⎪

⎝⎭ ，将原式中的x 与1x 互换，得112()f f x x x ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

.

于是得关于f (x )的方程组()()12112f x f x

x f f x x x ⎧

⎛⎫

+= ⎪⎪⎪

⎝⎭

⎨

⎛⎫

⎪+= ⎪

⎪⎝⎭

⎩

，解得2()(0)33x f x x x =

-≠.21、设数集A 由实数构成：且满足：若()1,0x A x x ∈≠≠，则1

1A x

∈-（1）若2A ∈,试证明A 中还有另外两个元素；（3）若集合A 是有限集，求集合A 中所有元素的积。【答案】(1)A 中还有另外两个元素为：1-，1

2

;(2)见解析；(3)有限集A 的所有元素之积为-1。

【解析】(1)2A ∈ ，1

112

A ∴

=-∈-，111,1(1)2A A -∈∴

=∈-- ∴A 中还有另外两个元素为：1-，

1

2

(2)集合A 不是双元素集合

由x A ∈，11A x

∈-得11111x A x x -=∈--,1

11x A x x

=∈--要使得A 为双元素集合，则x ，1

1x -，1x x

-中必有两个相等，另外一个和它们不相等，因为1111

,,11x x x x x x x x

--≠

≠≠--，所以集合A 不可能是双元素集合(3)由x A ∈，11A x

∈-得11111x A x x -=∈--，1

11x A x x

=∈--所以11,

,1x A x x x -⎧

⎫=⎨⎬-⎩⎭

，因为1111x x x x -⋅⋅=-，所以有限集A 的所有元素之积为-1.22、已知集合{}

015A x ax =<+≤，集合1

22B x x ⎧⎫=-

<≤⎨⎬⎩

⎭

.（1）若A B ⊆,求实数a 的取值范围

（2）若B A ⊆,求实数a 的取值范围;

【答案】（1）8a <-或2a ≥（2）122

a -<≤（3）能，2

a =【解析】（1）当0a =时，A R =，不满足A B ⊆；当0a <时，41A x x a a ⎛⎫=≤<- ⎪⎝⎭，由A B ⊆，得41,212,a a

⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-；当0a >时，14A x x a a ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，由A B ⊆，得11,242,a a

⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得2a ≥；.综上可知，当A B ⊆时，8a <-或2a ≥.（2）当0a =时，A R =，满足B A ⊆；

当0a <时，得41,212,a a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得102a -<<；当0a >时，得11,242,a a

⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤综上可知，当B A ⊆时，122a -<≤.