2020-2021学年新教材人教A版高一数学必修第一册 第五章 三角函数 单元测试

第五章　  三角函数 单元测试题

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知扇形的圆心角为2 rad，弧长为4 cm，则这个扇形的面积是(　　)

A．4 cm2         B．2 cm2

C．4π cm2        D．1 cm2

2．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝cos，则(　　)

A．b>a>c        B．a>b>c

C．b>c>a        D．a>c>b

3．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

4．已知sin＝，则cos等于(　　)

A.                B.

C．－             D．－

5．函数f(x)＝xsin x的图象大致是(　　)

6．化简(1－cos α)的结果是(　　)

A．sin α              B．cos α

C．1＋sin α           D．1＋cos α

7．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为(　　)

A．75米          B．85米

C．(50＋25)米   D．(60＋25)米

8．已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0,2π]，则函数f(x)的所有零点之和等于(　　)

A．4π  B．5π

C．6π  D．7π

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有(　　)

A．y＝tan  B．y＝sin

C．y＝sin|2x|  D．y＝|sin x|

10．已知sin θ＝－，且cos θ>0，则(　　)

A．tan θ<0 B．tan2θ>

C．sin2θ>cos2θ  D．sin 2θ>0

11．已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)在[0，π]上有三个零点

C．当x＝时，函数f(x)取得最大值

D．为了得到函数f(x)的图象，只要把函数y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)

12．若函数f(x)＝1＋4sin x－t在区间上有2个零点，则t的可能取值为(　　)

A．－2  B．0

C．3  D．4

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．tan 15°＝________.

14．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

15．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则A＝________.

16．已知函数f(x)＝sin 3x－acos 3x＋a，且f＝3，则实数a＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.

(1)求cos α和sin α；

(2)求tan 2α的值．

18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)若f＝，求cos的值．

19．(12分)(1)已知cos＝2sin，求sin2(π－α)＋2sin αsin＋1的值；

(2)已知cos＝，求cos＋2sin的值．

20．(12分)在①tan α＝4，②7sin 2α＝2sin α，③cos＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．

已知α∈，β∈，cos(α＋β)＝－，________，求cos β.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．(12分)已知函数f(x)＝2sin＋1.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)求f(x)在区间上的最值，并求出取最值时x的值；

(3)求不等式f(x)≥2的解集．

22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的表达式；

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若关于x的方程f(x)＋g(x)－a＝0在上有实数解，求实数a的取值范围．

三角函数单元测试参

1．解析：设半径为R，由弧长公式得4＝2R，即R＝2 cm，则S＝×2×4＝4 (cm2)，故选A.

答案：A

2．解析：a＝tan >1，b＝cos <0,1>c＝cos＝cos >0.∴a＞c＞b.

答案：D

3．解析：∵y＝cos＝cos，∴要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．

答案：B

4．解析：cos＝－cos

＝－sin＝－sin＝－.

答案：C

5．解析：因为函数f(x)＝xsin x满足f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，定义域为R，所以函数f(x)为偶函数，故排除B、C.又因为x∈(π，2π)时，sin x<0，此时f(x)<0，所以排除D.故选A.

答案：A

6．解析：(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.

答案：A

7．解析：以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设t时刻的坐标为(x，y)，转过的角度为t，根据三角函数的定义有y＝50sin＝－50cos t，地面与坐标系交线方程为y＝－60，则第7分钟时他距离地面的高度大约为60－50cos ＝85.故选B.

答案：B

8．解析：f(x)＝sin x－sin 3x＝0

⇒sin x＝sin 3x

⇒sin x＝sin(2x)cos x＋cos(2x)sin x，

⇒sin x＝2sin xcos2x＋(1－2sin2x)sin x

⇒sin x＝2sin x(1－sin2x)＋(1－2sin2x)sin x

⇒sin x＝3sin x－4sin3x

⇒sin x(2sin2x－1)＝0

所以sin x＝0，或sin x＝或sin x＝－，

因为x∈[0,2π]，所以有

x1＝0，x2＝π，x3＝2π，x4＝，x5＝，x6＝，x7＝，

所以函数f(x)的所有零点之和为：

0＋π＋2π＋＋＋＋＝7π.

故选D.

答案：D

9．解析：A.y＝tan，函数周期为π，非奇非偶函数，排除；B.y＝sin＝－cos 2x，函数周期为π，偶函数，满足；C.y＝sin|2x|，函数周期为，偶函数，排除；D.y＝|sin x|，函数周期为π，偶函数，满足；故选BD.

答案：BD

10．解析：∵sin θ＝－，且cos θ>0，∴cos θ＝，∴tan θ＝－<0，A正确；tan2θ＝>，B正确；sin2θ＝<＝cos2θ，C错误；sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－<0，D错误．

答案：AB

11．解析：f(x)＝sin，周期为π，选项A正确；令f(x)＝0,2x＋＝kπ(k∈Z)，当x∈[0，π]时，x＝，，选项B不正确；当x＝时，f(x)＝取得最大值，选项C正确；只要把函数y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到f(x)，选项D不正确．故选AC.

答案：AC

12．解析：令f(x)＝0，可得sin x＝，可知两个函数在区间上的图象有两个交点，作出函数y＝sin x与y＝在区间上的图象，如图所示：

则<<1或－1<<0，

解得3答案：ABD

13．解析：tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.

答案：2－

14．解析：由图象可知：当sin＝－1时，ymin＝k－3＝2，∴k＝5，当sin＝1时，ymax＝5＋3＝8.

答案：8

15．解析：由sin(2π－A)＝－sin(π－B)，得sin A＝sin B　①.

由cos A＝－cos(π－B)，得cos A＝cos B　②.

由①2＋②2得：sin2A＋3cos2A＝2，即2cos2A＝1.

由②和A，B为三角形的内角，可知角A，B均为锐角，则

cos A＝.

所以A＝.

答案：

16．解析：①因为f＝3，

所以f＝sin－acos＋a＝3，

解得：a＝1；

②将a＝1代入，得f(x)＝sin 3x－cos 3x＋1，

化简得f(x)＝2sin＋1，

故－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z

解得：－＋≤x≤＋，k∈Z，

故函数f(x)的增区间为：(k∈Z)．

答案：1　(k∈Z)

17．解析：(1)由题意可知，sin α＝，

∵角α为锐角，∴cos α＝＝；

(2)由(1)知tan α＝＝，

则tan 2α＝＝＝－.

18．解析：(1)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2，

再根据图象关于直线x＝对称，可得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z

结合－≤φ＜，可得φ＝－.

(2)∵f＝， 

∴sin＝.∴sin＝，

再根据0<α－<，

∴cos＝ ＝

∴cos＝sin α＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×

＝.

19．解析：(1)由cos＝2sin，

有－sin α＝－2cos α，即tan α＝2，

所以sin2(π－α)＋2sin αsin＋1

＝sin2α－2sin αcos α＋1

＝＋1

＝＋1＝＋1＝1.

所以sin2(π－α)＋2sin αsin＋1的值为1.

(2)cos＋2sin

＝cos＋2sin

＝－cos－2sin

＝－cos－2sin

＝－cos－2cos

＝－3cos＝－1.

所以cos＋2sin的值为－1.

20．解析：方案一：选条件①

解法一　因为tan α＝4，所以＝4.

由平方关系sin2α＋cos2α＝1，

解得或

因为α∈，所以

因为cos(α＋β)＝－，由平方关系sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，

解得sin2(α＋β)＝.

因为α∈，β∈，所以0<α＋β<π，

所以sin(α＋β)＝，

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×

＝.

解法二　因为α∈，tan α＝4，

所以点P(1,4)在角α的终边上，

所以cos α＝＝，

sin α＝＝.

以下同解法一．

方案二：选条件②

因为7sin 2α＝2sin α，所以14sin αcos α＝2sin α，

因为α∈，所以sin α≠0，所以cos α＝.

由平方关系sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝.

因为α∈，所以sin α＝.

以下同方案一的解法一．

方案三：选条件③

因为cos＝，所以cos α＝2cos2－1＝.

由平方关系sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝.

因为α∈，所以sin α＝.

以下同方案一的解法一．

21．解析：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)由－≤x≤得－≤2x＋≤，

故－≤sin≤1，所以0≤f(x)≤3.

当且仅当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值3；

当且仅当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取最小值0.

(3)由f(x)≥2得，sin≥，

所以2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)

即不等式f(x)≥2的解集为(k∈Z)．

22．解析：(1)由题图可知A＝2，

＝－，所以T＝π，所以ω＝＝＝2，

将点的坐标代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，

得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)，

因为|φ|≤，所以φ＝－，

所以函数f(x)的表达式为f(x)＝2sin.

(2)依题意g(x)＝2sin＝2sin 2x，

方程f(x)＋g(x)－a＝0在上有实数解，

即方程f(x)＋g(x)＝a在上有实数解．

令h(x)＝2sin＋2sin 2x＝3sin 2x－cos 2x

＝2

＝2sin，

∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，

∴h(x)的值域为，

所以实数a的取值范围为[－，2]．