高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)

/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。

【基础知识1：切线方程、极线方程】

【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.

【1-1】 椭圆的切线方程 ：

①椭圆 上一点处的切线方程是 。

②过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 。

③椭圆与直线相切的条件是

(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)

【1-2】双曲线的切线方程：

①双曲线上一点处的切线方程是 。

②过椭圆 外一点所引两条切线的切点弦方程是 。

③椭圆与直线相切的条件是

【1-3】抛物线的切线方程：

2物线  上一点处的切线方程是 

②过抛物线 外一点  处所引两条切线是

③抛物线 与直线相切的条件是

【1-4】 基础知识的证明：

【公式一：曲线C上切点公式证明】

1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程

设曲线C上某一点处 的 切 线 方 程 为, 联立方程，令,得到的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式

（注: 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）

2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)

证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P

则有 ，得

 又

 弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是)

当M、N无限趋近时，P在椭圆C上。即得切线斜率

3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分

证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。

附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③

①切线斜率可用导数表示。

②得到式子后，要利用把消去。

【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)

证明思路：过作两条曲线C的切线，切点为A，B。

。所以过A、B两点直线方程为

证明(就举椭圆为例)

解：过作两条曲线C的切线，切点为A，B。

过A点切线: ，过B点切线：。

过A、B两点直线方程为

【公式三：由公式一的思路可得】

【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)

【1-0】

【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF，

口诀：椭圆F左加右减。(记忆：大则在前)

 双曲线F左加右减，双曲线上点P左减右加。

焦半径与点到准线距离关系如下。即()/e=

推广应用:

通过比例e的值 的值 的值

巧用公式(注：双曲线交于同侧、抛物线类似)

不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为，具体自己推导吧

【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容)

【结论一：弦中点公式】

【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P

则有 ，得

 又

 (常用)

结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。

【抽象理解型证明】

具体理解，可以用“坐标系变幻理解”

证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为、，中点P

，令。

∵变幻后， ，得到中点轨迹方程始终与MN垂直

【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)

,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直，证明方法和上面一样。至于双曲线，则是。结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。

【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)

证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似)

A、B在椭圆上，且关于原点对称。

则有 ，得