高考数学 立体几何大题30题

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．

∵ △ABC 是等腰直角三角形，

(),cm 22DB AD ==∴

又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．

∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．

有时当,cm 4AB ,22DB AD ===

.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+

（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．

∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直． （3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3

6

23r -=，即半径最大的小球半径为3

6

23-．

A B C

第1题图 A B

C

D

第1题图

2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。

（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，

∴D 1D ⊥ABCD .

连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，

由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .

解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，

∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，

∴EB =.4

9

12=A A AB

∴V B －AEC = V E －ABC =31

S △ABC ·EB =31×21×3×3×49

=.827 （10分）

解（Ⅲ）连CF ，

∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，

由三垂线定理知，CF ⊥AE .

于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角，

在Rt △ABE 中，BF =

59

=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35

，

∴∠BFC = arctg 35

.

即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35

.

3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点

M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. （I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离； （Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值. 答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形，

A

B

C

A 1

B 1

C 1

M 第3题图

∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1

∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC.

∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM.

∵底面ABC 是边长为1的正三角形，

∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）

过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.

∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM. AM=C 1M=

,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.2

2 .66

2

3

21

2211=⇒=⇒=∴

BH BH M C BM CC BH 解法（二）

设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=

由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=

.2

2,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113

1

31 232221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h 6

6

=

h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.

∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，

,2

1,66==

BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°.

∴△C 1IH 也是等腰直角三角形. 由C 1M=

.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.3

6

=

HI .2

1

==

∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．

（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；

（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值． 证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有

AB DE FM //2

1

//．

∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ，

∵⊂BM 平面BCE ， ⊄AF 平面BCE ， ∴AF//平面BCE ．

（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．

又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．

又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．

BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--222

131243312322

33233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ．

由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ， 则DE ⊥CG ，又AD ∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．

作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则3=

CG ，

∴2

3

122111212)21(21=⨯⨯-⨯⨯-⋅+=∆GBE S ．

不难算出5=BE ．

∴23

521=⋅⋅=

∆GH S GBE ，∴53=

GH ． ∴3

15

==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.

（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；

（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在

底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 2

1

=

. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，

则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，

即PC AN 2

1

=

BN AN =∴

又∵M 是AB 的中点， AB MN ⊥∴

（也可由三垂线定理证明）

（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.

则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角

由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ， 又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，

则有DN ⊥PC

又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ， 而N 是PC 中点，则必有PM=MC.

b a

c b c a =∴+=+∴.41412222 此时4

,1π=∠=∠PDA PDA tg .

即二面角P —CD —A 的大小为4

π

（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 2

1PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a

324

231a NO S V AMD AMD N =⋅=

∴∆-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。 （I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值； （II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；

（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足 “有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，

∥ ＝

A

B C

D P A 1

B 1

C 1

D 1

第6题图

M

N

解：（I）连接BD交MN于F，则BF⊥MN，

连接B1F

∵B1B⊥平面ABCD

∴B1F⊥MN 2分

则∠B1FB为二面角B1—MN—B的平面角

在Rt△B1FB中，设B1B=1，则

∴ 4分

（II）过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连接BE

又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1

又BE⊥B1M ∴PB⊥MB1

又MN∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥MN

又PD⊥平面ABCD

∴PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB1 11分

（III），符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：

7．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.

（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；

（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

（I）证明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.

∴CD⊥平面PAD

∵AM 平面PAD，∴CD⊥AM.

∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.

∴AM⊥平面PCD.

∴AM ⊥PD

（II ）解：∵AM ⊥平面PCD （已证）.

∴AM ⊥PM ，AM ⊥NM.

∴∠PMN 为二面角P-AM-N 的平面角 ∵PN ⊥平面AMN ，∴PN ⊥NM.

在直角△PCD 中，CD=2，PD=22，∴PC=23. ∵PA=AD ，AM ⊥PD ，∴M 为PD 的中点， PM=

2

1

PD=2 由Rt △PMN ∽Rt △PCD ，得 ∴PC

PM CD MN ⋅=.

.3

3

arccos .33322)cos(=∠∴====

∠∴PMN PC CD PM MN PMN 即二面角P —AM —N 的大小为3

3arccos .

（III ）解：延长NM ，CD 交于点E.

∵PC ⊥平面AMN ，∴NE 为CE 在平面AMN 内的射影 ∴∠CEN 为CD （即（CE ）与平在AMN 所成的角 ∵CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴∠CEN=∠MPN. 在Rt △PMN 中，

.

33

arcsin )2,0(.3

3

)sin(=∠∴∈∠==

∠MPN MPN PM MN MPN π

∴CD 与平面AMN 所成的角的大小为3

3

arcsin

8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°. BC=CC 1=a ，AC=2a . （I ）求证：AB 1⊥BC 1；

（II ）求二面角B —AB 1—C 的大小； （III ）求点A 1到平面AB 1C 的距离. （1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，

∴CC 1⊥平面ABC ， ∴AC ⊥CC 1. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1BCC 1. ∴B 1C 是AB 1在平面B 1BCC 1上的射影.

∵BC=CC 1， ∴四边形B 1BCC 1是正方形， ∴BC 1⊥B 1C. 根据三垂线定理得， AB 1⊥BC 1

（2）解：设BC 1∩B 1C=O ，作OP ⊥AB 1于点P ， 连结BP.∵BO ⊥AC ，且BO ⊥B 1 C ， ∴BO ⊥平面AB 1C.

∴OP 是BP 在平面AB 1C 上的射影. 根据三垂线定理得，AB 1⊥

BP.

∴∠OPB 是二面角B —AB 1—C 的平面角

∵△OPB 1~△ACB 1， ∴,1

1AB OB AC

OP = ∴.3

31

1a AB AC OB OP =⋅=

在Rt △POB 中，2

6==∠OP

OB OPB tg ，

∴二面角B —AB 1—C 的大小为.2

6arctg

（3）解：[解法1] ∵A 1C 1//AC ，A 1C 1⊂

平 面AB 1C ，∴A 1C 1//平面AB 1C. ∴点A 1到 平面AB 1C 的距离与点C 1到平面AB 1C.的 距离相等.∵BC 1⊥平面AB 1C ，

∴线段C 1O 的长度为点A 1到平面AB 1C 的 距离.

∴点A 1到平面AB 1C 的距离为.2

21a O C =

[解法2]连结A 1C ，有C AA B C AB A V V 1111--=，设点A 1到平面AB 1C 的距离为h. ∵B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， ∴1111C B S h S AC A ACB ⋅=⋅∆∆，

又21212

1,22

11

1

a A A AC S a C B AC S AC A ACB =⋅==⋅=∆∆，

∴.2222

2a a a

a h =

⋅=

∴点A 1到平面AB 1C 的距离为.

22a

9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =BC =2，BB 1=3，连接BC 1，过B 1作B 1E ⊥BC 1交CC 1于点E

(Ⅰ)求证：AC 1⊥平面B 1D 1E ； (Ⅱ)求三棱锥C 1－B 1D 1E 1的体积；

(Ⅲ)求二面角E －B 1D 1－C 1的平面角大小

(1)证明：连接A 1C 1交B 1D 1于点O ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体

∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1是AC 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影 ∵AB =BC ，∴A 1C 1⊥B 1D 1，

根据三垂线定理得：AC 1⊥B 1D 1； ∵AB ⊥平面BCC 1B 1，且BC 1⊥B 1E ， ∴AC 1⊥B 1E

∵B 1D 1∩B 1E =B 1，

∴AC 1⊥平面B 1D 1E 1

(2)解：在RT △BB 1C 1中，111113

tg 2

B B B

C B B C ∠=

= 在RT △EC 1B 1中，C 1E =B 1C 1·tg ∠C 1B 1E =B 1C 1·ctg ∠BC 1B 1=224

33

=， ∴V C 1－B 1D 1E = V D 1－B 1C 1E =111111111

1

118

()3

329

B C E S

C D B C C E C D ⋅=⨯⨯⨯= (3)解：连接OE ，∵△B 1C 1E 1 ≌△D 1C 1E 1 ， ∴B 1E =D 1E

∵O 是B 1D 1中点， ∴B 1D 1⊥OE ，

∴∠C 1OE 是二面角E ―B 1D 1―C 1的平面角 在RT △OC 1E

中，∵111tg C E C OE OC ∠=

= 所以，二面角E ―B 1D 1―C 1

的平面角为 10．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 为DC 的中点，沿AE 将△AED 折起，使二面角D －AE －B 为60 ．

（Ⅰ）求DE 与平面AC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角D －EC －B 的大小．

答案：如图1，过点D 作DM ⊥AE 于M ，延长DM 与BC 交于N ，在翻折过程中DM ⊥AE ，MN ⊥AE 保持不变，翻折后，如图2，∠DMN 为二面角D －AE －B 的平面角，∠DMN ＝60 ，AE ⊥平面DMN ，又因为AE ⊂平面AC ，则AC ⊥平面DMN ．

（Ⅰ）在平面DMN 内，作DO ⊥MN 于O ， ∵平面AC ⊥平面DMN ， ∴DO ⊥平面AC ．

连结OE ，DO ⊥OE ，∠DEO 为DE 与平面AC 所成的角．

A D B

C E A B C E

D

第10题

如图1，在直角三角形ADE 中，AD ＝3，DE ＝2，

,1323DE AD AE 2222=+=+=

.13

4AE DE ME ,136AE DE AD DM 2===⋅=

如图2，在直角三角形DOM 中，,13

3360sin DM DO =

︒⋅=在直角三角形DOE 中，

13233DE DO DEO sin ==

∠，则.26

393arcsin DEO =∠ ∴DE 与平面AC 所成的角为.26

39

3arcsin

（Ⅱ）如图2，在平面AC 内，作OF ⊥EC 于F ，连结DF ，

∵DO ⊥平面AC ，∴DF ⊥EC ，∴∠DFO 为二面角D －EC －B 的平面角．

如图1，作OF ⊥DC 于F ，则Rt △EMD ∽Rt △OFD ，,DE

EM

DO OF =

∴.DE

EM

DO OF ⋅=

如图2，在Rt △DOM 中，OM ＝DMcos ∠DMO ＝DM ·cos60 ＝13

3

．

如图1，.1318

OF ,13

9MO DM DO ==+=

在Rt △DFO 中，,2

13OF DO DFO tg ==

∠ ∴二面角D －EC －B 的大小为2

13

arctg ．

11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝CB ＝AA 1＝2，∠ACB ＝90°，E 是BB 1的中点，

D ∈AB ，∠A 1D

E ＝90°.

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求二面角D －A 1C －A 的大小.

分

平面，平面平面，平面，平面知，平面－由直三棱柱，分

的中点是），（，即，有①、②由②

，又①，）（，∥）

，（，

），（）

，（），（则分

，），（，可设，），（，），（又），（，）

，（则坐标系如图，为原点，建立空间直角以2.

.

2.

.0111.

10902022202202221220020002.1202021111111111111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⊥∴=⋂⊂⊥⊥∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴===∴=⋅∴︒=∠=+∴=+-∴-=-=∴--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈→

-→--→

-→

-→

-→-→--→

-A ABB CD AB A ABB ABC ABC CD A ABB ABC C B A ABC AB CD CB AC AB D D n m mn ED D A DE A n m n m AB AD AB n m AD n m D A n m ED n m D AB D B A E A C

（Ⅱ）解：

分

的大小为－－二面角＞，＜分

），（的法向量，故可取平面平面显然），（可取，可得令，

即，且则有，），（的法向量为设平面），（，），（3.3

3arccos

.331

31|

|||cos 4.010.

111.

11.

0.

022000.20201112121212111111111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=

⋅=

⋅∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⊥-=∴==-==+∴⎩⎨

⎧=+=+=⋅=⋅===→

→

→

→

→

→

→-→

→

-→

→

→

--→

-A C A D n n n

n n n n CA A CA A CB n z y x z x z x y x CA n CD n z y x n C DA CA CD

12．如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=a ，点A 1在底面ABC 上的射影 恰为AC 的中点D ，BA 1⊥AC 1。

1

（I ）求证：BC ⊥平面A 1ACC 1； （II ）求点A 1到AB 的距离

（III ）求二面角B —AA 1—C 的正切值 解：

答案：如图，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=a ，点A 1在底面ABC 上的射影

恰为AC 的中点D ，BA 1⊥AC 1。

（I ）求证：BC ⊥平面A 1ACC 1； （II ）求点A 1到AB 的距离

（III ）求二面角B —AA 1—C 的正切值 解：（1）由题意，A 1D ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥BC 。 又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1

（II ）过D 作DH ⊥AB 于H ，又A 1D ⊥平面ABC ，∴AB ⊥A 1H ∴A 1H 是H 1到AB 的距离

∵BA 1⊥AC 1，BC ⊥平面A 1ACC 1，由三垂线定理逆定理，得A 1C ⊥AC 1

1ACC 1是菱形 ∴A 1A=AC=a, A 1D=

a 2

3. 13．如图，正三棱柱AC 1中，AB=2，D 是AB 的中点，E 是A 1C 1的中点，F 是B 1B 中点，异面直线CF 与DE 所成的角为90°. （1）求此三棱柱的高；

（2）求二面角C —AF —B 的大小. 解：（1）取BC 、C 1C 的中点分别为H 、N ，连结HC 1，

连结FN ，交HC 1于点K ，则点K 为HC 1的中点，因 FN//HC ，则△HMC ∽△FMK ，因H 为BC 中点

BC=AB=2，则KN=2

3,2

1=FK ，∴,3

22

31===MK

HM FK HC

则HM=15

1HC ，在Rt △HCC 1，HC 2

=HM ·HC 1，

解得HC 1=5，C 1C=2.

另解：取AC 中点O ，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为h ，则C （0，1，0），F （2,0,3h ），D （0,2

1,23-），E （0，0，h ），∴

),21

,23(),2,1,3(h h -=-=，由CF ⊥DE ，得02

21232=+--=⋅h ，解得h=2.

（2）连CD ，易得CD ⊥面AA 1B 1B ，作DG ⊥AF ，连CG ，

由三垂线定理得CG ⊥AF ，所以∠CGD 是二面角C —AF —B

的平面角，又在Rt △AFB 中，AD=1，BF=1，AF=5， 从而DG=,5

5∴tan ∠CGD=15=DG

DC ，

故二面角C —AF —B 大小为arctan 15.

14.已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=a

，AD =

，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。 解：（I ）连PM 、MB ∵PD ⊥平面ABCD

∴PD ⊥MD …1分

222222222

3

23a AM AB BM a MD PD PM =+==

+=∴又 ∴PM=BM 又PN=NB ∴MN ⊥PB ………3分

,22,BC a PC a

BC a DC PD ==∴===

得NC ⊥PB ∴PB ⊥平面MNC ……5分 ⊂PB 平面PBC ∴平面MNC ⊥平面PBC ……6分

（II ）取BC 中点E ，连AE ，则AE//MC ∴AE//平面MNC ， A 点与E 点到平面MNC 的距离相等…7分 取NC 中点F ，连EF ，则EF 平行且等于

2

1

BN ∵BN ⊥平面MNC ∴EF ⊥平面MNC ，EF 长为E

点到平面MNC 的距离……9分 ∵PD ⊥平面ABCD ， BC ⊥DC ∴BC ⊥PC.

24121,222a

PB BN EF a PC BC PB ====+=∴

即点A 到平面MNC 的距离为2

a

……12分

15．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,2

3

3D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.

（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积. （Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1，

∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1. 又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ， ∴直线BC 1//平面AB 1D.

（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1， ∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，

∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，

∴E 是AD 的中点， .2

32

1==AC BE

在Rt △B 1BE 中，

.32

33

2

311===∠BE

B B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。即二面角B 1—AD —B 的大小为60°

（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=

∴=⨯,323323 AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1

111

11

1

1

3

1 .8

272

33)32

332

1(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.8

27

解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，111111111

11

C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S

---∆∆==∴=

.827233)3434(313

1211

11=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.8

27

16．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，BC=BB 1=1，D 为BC 上一点，

且满足AD ⊥C 1D.

（I ）求证：截面ADC 1⊥侧面BC 1； （II ）求二面角C —AC 1—D 的正弦值； （III ）求直线A 1B 与截面ADC 1距离.

（I ）由题知：

1111111BC ADC ADC AD BC AD AD D C AD C C ABC AD ABC C C 面面平面底面底面⊥⇒⎭⎬⎫

⊂⊥⇒⎭

⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥

……………………………………………4分

（II ）⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=⊥⊥⊥⇒⎭

⎬⎫

D C BC ADC BC ADC EF F D C CF C AC C

E A ACC E AC CA 1111

11

1

1111)(

,面又面面知面由连结于作过为正方形面点于与连结

故∠CEF 为二面角C —AC 1—D 的平面角…………………………………………6分

在Rt △C 1CD 中，求出5102

2

55

sin ,55==∠=CEF CF 故………………8分 （III ）

ED C A E BC D ABC BC AD ⇒⎭

⎬⎫

⇒⎭⎬⎫∆⊥中点为中点为为正三角形又知由1;,)(

∥A 1B

B A 1⇒∥面A

C 1

D ，设B 到面ADC 1距离为d ……………………………………10分 5

531311111=⇒⋅=⋅⇒

=∆∆--d CC S d S V V ABD ADC ABD C ADC B …………………12分 注：其他证法相应给分

1DAC CF 面⊥

射影在面为斜线又1ADC CE EF 1AC FE ⊥⇒

I

（I）求二面角P—CD—A的正切值；

（II）求点A到平面PBC的距离。

解：（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD

∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分

在中，

………………4分

在中，

∴二面角P—CD—A的正切值为………………6分

（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB

∴平面PBC⊥平面PAB

∴AH⊥平面PBC

故AH的长即为点A到平面PBC的距离………………10分

在等腰直角三角形PAB 中，所以点A 到平面PBC 的距离为

…………12分

18．直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ∥⊥AB ，VA ⊥平面ABCD 。

（1）求证：VC ⊥CD 。 （2）若

，求CV 与平面VAD 所成的角。

（1）连结AC

取AD 中点G ，连CG ，则ABCG 为正方形 又

…………………………（4分）

VA ⊥平面ABCD ，DC ⊥AC

由三垂线定理：VC ⊥CD ………………（6分） （2）连VG ，由面VAD

是CV 与平面VAD 所成的角………………（9分）

∴CV 与平面VAD 所成角为………………………（12分）

19．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2

1

AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；

（Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值.

（A ）（Ⅰ）证明：取A 1B 1的中点F ，连EF ，C 1F

∵E 为A 1B 中点

∴EF ∥

2

1

BB 1…………2分 又∵M 为CC 1中点 ∴EF ∥ C 1M

∴四边形EFC 1M 为平行四边形 ∴EM ∥FC 1 ……4分 而EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1 . FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1 . ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）EM ∥平面A 1B 1C 1D 1 EM ⊂平面A 1BMN 平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ∴A 1N// EM// FC 1 ∴N 为C 1D 1 中点

过B 1作B 1H ⊥A 1N 于H ，连BH ，根据三垂线定理 BH ⊥A 1N ∠BHB 1即为二面角B —A 1N —B 1的平面角……8分 设AA 1=a ， 则AB=2a ， ∵A 1B 1C 1D 1为正方形 ∴A 1H=a 5 又∵△A 1B 1H ∽△NA 1D 1 ∴B 1H=

5

4522a a

a a =

⋅

在Rt △BB 1H 中，tan ∠BHB 1=

45

5

411=

=a a H B BB 即二面角B —A 1N —B 1的正切值为4

5

……12分 （B ）（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a ，AA 1=a(a>0)，则

A 1（2a ，0，a ），

B （2a, 2a , 0）,

C （0，2a ，0），C 1（0，2a ，a ）……2分

∵E 为A 1B 的中点，M 为CC 1的中点 ∴E （2a , a , 2a ），M （0，2a, 2

a

） ∴EM// A 1B 1C 1D 1 …………6分

（Ⅱ）设平面A 1BM 的法向量为=（x, y , z ）

又A 1=（0，2a , －a ） )2

,0,2(a a BM -=由A ⊥⊥,1，得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-24,02202z y z x az

ax az ay ),2

,4(a a

a n =∴…………9分

而平面A 1B 1C 1D 1的法向量为)1,0,0(1=n .设二面角为θ，则

21

4cos |11=

=

θ又：二面角为锐二面角 21

4cos =

∴θ，……11分

从而4

5

tan =

θ………………12分 20．如图，PA ⊥平面AC ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；

（Ⅱ）若二面角P —CD —B 为45°，AD=2，

CD=3，求点F 到平面PCE 的距离.

（Ⅰ）取PC 中点M ，连结ME 、MF. ,2

1,//,2

1,//CD AE CD AE CD FM CD FM ==

FM AE FM AE =∴且,//，即四边形AFME 是平行四边形，……2/；‘。。分

∴AF//EM ，∵AF ⊄平在PCE ，∴AF ∥平面PCE.……4分

（Ⅱ）∵PA ⊥平面AC ，CD ⊥AD ，根据三垂线定理知，CD ⊥PD ∴∠PDA 是二面角

P —CD —B 的平面角，则∠PDA=45°……6分 于是，△PAD 是等腰直角三角形， AF ⊥PD ，又AF ⊥CD ∴AF ⊥面PCD.而EM//AF, ∴EM ⊥面PCD.又EM ⊂平面PEC, ∴面PEC ⊥面PCD.……8分

在面PCD 内过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH 为点F 到平面PCE 的距离.……10分

由已知，PD=22，PF=

.17,22

1

==PC PD ∵△PFH ∽△PCD ∴.17

343=

=FH PC

CD

PF

FH ……12分

21．如图，正三棱柱AC 1中，AB=2，D 是AB 的中点，E 是A 1C 1的中点，F 是B 1B

中点，异面

直线CF 与DE 所成的角为90°. （1）求此三棱柱的高；

（2）求二面角C —AF —B 的大小. 解：（1）取BC 、C 1C 的中点分别为H 、N ，连结HC 1，

连结FN ，交HC 1于点K ，则点K 为HC 1的中点，因 FN//HC ，则△HMC ∽△FMK ，因H 为BC 中点

BC=AB=2，则KN=2

3,21=FK ，∴,3

22

3

1===MK

HM FK

HC

则HM=15

1HC ，在Rt △HCC 1，HC 2

=HM ·HC 1，

解得HC 1=5，C 1C=2. 另解：取AC 中点O ，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高

为h ，则C （0，1，0），F （2,0,3h ），D （0,2

1,23-）

，E （0，0，h ）

， ∴),21

,23(),2,1,3(h CE h CF -=-=，

由CF ⊥DE ，得02

21232=+--=⋅h ，解得h=2. （2）连CD ，易得CD ⊥面AA 1B 1B ，作DG ⊥AF ，连CG ，

由三垂线定理得CG ⊥AF ，所以∠CGD 是二面角C —AF —B

的平面角，又在Rt △AFB 中，AD=1，BF=1，AF=5， 从而DG=

,

55∴tan ∠CGD=15=DG

DC

， 故二面角C —AF —B 大小为arctan 15.

22．如图，正方体1111D C B A ABCD -，棱长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ＝x ．

（1）当x 为何值时，三棱锥BEF B -1的体积最大？

（2）求三棱椎BEF B -1的体积最大时，二面角B EF B --1的正切值； （3）（理科做）求异面直线E A 1与F B 1所成的角的取值范围． （1）x x a a a x x a V BEF

B )(6)(21311-=-=⋅⋅⋅-24)2(

632a x x a a =+-≤，当2

a

x =时，三棱锥BEF B -1的体积最大． （2）取EF 中点O ，由EF O B EF BO ⊥⊥1，所以OB B 1∠就是二面角B EF B --1的平面角．在Rt △BEF 中，a a EF BO 2

2

222121===

⋅ 22tan 1

1==

BO

BB OB B ． （3）在AD 上取点H 使AH ＝BF ＝AE ，则11////B A CD HF ， 11B A CD HF ==，F B H A 11//，所以E HA 1∠（或补角）是异面直线E A 1与F B 1所

成的角；在Rt △AH A 1中，221x a H A +=，在Rt △AE A 1中，=E A 122x a +，在Rt

△

HAE 中，

x

x x HE 222=+=，

在

△

E

HA 1中，

E

A H A EH E A H A E HA 112212112cos ⋅-+=，2

22x a a +=因为a x ≤<0，所以2

2222a a x a ≤+<，1212

22<+≤a x a ，1cos 2

11<≤E HA ，3π

01≤∠31GD ，BG ⊥GC ，GB=GC=2，E 是BC 的中点，四面体P —BCG 的体积为3

8

. （Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成的角；

（Ⅱ）求点D 到平面PBG 的距离；

（Ⅲ）若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FC

PF

的值.

解法一：

（I ）由已知3

8213131=⋅⋅⋅=⋅=

∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4…………2′

如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系o —x yz ， 则

B （2，0，0），

C （0，2，0），P （0，0，4） 故E （1，1，0）

10102022

,cos 3)4,2,0(),0,1,1(=⋅=

>=

<'-== ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos

10

10

……………………4′ （II ）平面PBG 的单位法向量)0,1,0(0±=n

6)0,23

,23(45,22

3||43||'

-=∴=∠==

CGD

∴点D 到平面PBG 的距离为2

3

||0=⋅n ……………………8′ （III ）设F （0，y , z ）

2

3

0)2

3(2)0,2,0()0,23,23(0

,01)0,2,0()

,23

,23()0,23,23(),,0(=

∴=-=⋅-∴=⋅∴⊥'

=-=--=-=y y y z y z y 则

在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则2

1,23==

MC GM 3==∴

MC

GM

FC PF ……………………………………………………………………12′ 解法二：

（I ）由已知3

8213131=⋅⋅⋅=⋅=

∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4…………2′

在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则

∠PCH （或其补角）就是异面直线GE

与PC 所成的角.………………3′ 在△PCH 中，18,20,2===

PH PC CH

由余弦定理得，cos ∠PCH=

10

10 ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos

10

10

……………………4′ （II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD

在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离…………………………6′

223434322===

∴=BC AD GD BC 在△DKG ，DK=DGsin45°=23

∴点D 到平面PBG 的距离为2

3

……………………………………8′

（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC ∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM

由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG 由GM ⊥MD 得：GM=GD ·cos45°=

2

3

…………………………10′ 332

1

23

=⊥∴===FC

PF

GC DF MC GM FC PF 可得

由 …………12′ 24．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AA 1、BB 1的中点，求： （I ）CM 与D 1N 所成角的余弦值； （II ）异面直线CM 与D 1N 的距离．

z

y

C 1

D 1

解：（I ）如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，……………1′

则C （0，2，0）、D 1（0，0，2）、M （2，0，1）、N （2，2，1）， ∴CM ＝（2，－2，1），1D M ＝（2， 2，－1）， ……………………3′ 设CM 与D 1N 所成的角为α， 则cos α＝

11CM 22(2)21(1)33|CM |||

D N D N +-+-=

＝－1

9＜0 ∴α为钝角，∴CM 与D 1N 所成的角为θ＝π－α，即cos θ＝1

9

（解法2：设CM 与D 1N 所成的角为θ， 则cos θ＝

11|CM ||22(2)21(1)|33|CM |||

D N D N +-+-=

＝1

9） …………………………………6′

（II ）取DD 1的中点E ，分别连接EM 、EB ，则EM ∥BC ，EB ∥D 1N ， ∴B 、C 、E 、M 共面且D 1N ∥平面BCEM ，

∴D 1到平面BCEM 的距离d 等于异面直线CM 与D 1N 的距离， ……………………8、

∵11111D BCEM BAA CDD BAM CDE B NA D V V V V ----=--＝（21―41―112）·23＝3

4…………10、 即

31

S BCEM ·d ＝3

4

而S BCEM ＝BM ·BC ＝25

∴d ………………………………………………………………………………12、

解法2： 设CM ，1D N 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）

则220

220x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩

⇒02x z y =⎧⎨

=⎩，

取n ＝（0，1，2）……………………………………………………………………………8′

∴异面直线CM 与D 1N 的距离d ＝

1||5||5

D M n n == ……………………………12′

25．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、

PC 上，且PC ⊥平面AMN.

（Ⅰ）求证：AM ⊥PD ；

（Ⅱ）求二面角P —AM —N 的大小；

（Ⅲ）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小.

（I ）证明：∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，

∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD.

∴CD ⊥平面PAD ……………………………………3分 ∵AM ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AM. ∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ⊥AM. ∴AM ⊥平面PCD.

∴AM ⊥PD.…………………………………………5分 （II ）解：∵AM ⊥平面PCD （已证）.

∴AM ⊥PM ，AM ⊥NM.

∴∠PMN 为二面角P-AM-N 的平面角.…………………………7分 ∵PN ⊥平面AMN ，∴PN ⊥NM.

在直角△PCD 中，CD=2，PD=22，∴PC=23. ∵PA=AD ，AM ⊥PD ，∴M 为PD 的中点，PM=

2

1

PD=2 由Rt △PMN ∽Rt △PCD ，得 ∴PC

PM CD MN ⋅=.

.3

3

arccos .33322)cos(=∠∴====

∠∴PMN PC CD PM MN PMN …………10分 即二面角P —AM —N 的大小为3

3arccos .

（III ）解：延长NM ，CD 交于点E.

∵PC ⊥平面AMN ，∴NE 为CE 在平面AMN 内的射影

∴∠CEN 为CD （即（CE ）与平在AMN 所成的角.…………12分 ∵CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴∠CEN=∠MPN. 在Rt △PMN 中，

.

33

arcsin )2,0(.3

3

)sin(=∠∴∈∠==

∠MPN MPN PM MN MPN π

∴CD 与平面AMN 所成的角的大小为3

3

arcsin

…………15分 26．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，0

190,2,4ACB BC AC AA ∠====，D 为棱CC 1

上的一动点，M 、N 分别为11,ABD A B D ∆∆的重心．

（1）求证：MN BC ⊥；

（2）若二面角C —AB —D

的大小为，求点C 1到平面A 1B 1D 的距离；

（3）若点C 在ABD ∆上的射影正好为M ，试判断点C 1在11A B D ∆的射影是否

为N ？并说明理由．

D

1

1

解：（1）连结,DM DN 并延长，分别交11,AB A B 于,P Q ，连结PQ ，

,M N 分别为11

,ABD A B D ∆∆的重心，则,P Q 分别为11,AB A B 的中点1//PQ BB ∴

在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB BC MN BC ⊥∴⊥ （2）连结1CP

AC BC CP AB CC ABC DP

AB =∴⊥⊥∴⊥又面

CPD ∴∠即为二面角C

AB D --的平面角CPD ∴∠=在Rt ABC ∆中，2AC BC CP ==∴=tan 2

Rt CDP CD CP CPD ∴∆

=⋅∠=在中，

11142

CC AA DC ==∴=

连结11,

C Q C Q CP DQ ==同上可知，11

1112

A B D DQ A B S AB DQ ∆⊥∴=⋅=设111C DA B h 到面的距离为

111111C A B D D A B C V V --=11111

1A B D A B C h S C D S ∆∆∴⋅=⋅

h ∴（3）2112

1

,2

CP PM C M ABD C M DP CP CD MD ⊥∴⊥===面122CD C D ∴=∴= //DQ DP

MN PQ DM DN =∴=则

221CD DM DP DC DN DQ =⋅∴=⋅

1DC Q ∴∆∽11190DNC C ND DC Q ︒∆∴∠=∠= 1111C N DQ A B C CPQ ∴⊥⊥又

面 111111A B C N C N A B D ∴⊥∴⊥面

111C A B D N ∴在面的射影即为.

（另解）[9(B)]空间向量解法：以C 1为原点，如图建立空间直角坐标系。

（1） 设()104C D a a =≤≤，依题意有：

()()()()()10,0,,2,0,4,0,2,4,0,0,4,0,0,0D a A B C C

因为M 、N 分别为11,ABD A B D ∆∆的重心．

所以228228,,,,,0,0,3333333

a a M N NM +⎛

⎫⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

⎝

⎭

∵)0,1,0(38,0,0⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛

=⋅ ∴MN BC ⊥

（2） 因为平面ABC 的法向量()10,0,1n =-， 设平面ABD 的法 向量()2111,,n x y z =

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎩⎨⎧=⋅-=⋅--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅12121111112242,,0),,()0,2,2(0),,()4,0,2(0

0x a x x n z y x z y x a n n AD

令12211,1,4x n a ⎛⎫=⇒= ⎪-⎝

⎭，设二面角C —AB —D 为θ

，则由tan cos θθ==因此

23

3

36

162242242

cos 22

=⇒=

+-=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=a a a a a θ 设平面A 1B 1D 的法向量为()3,,n x y z =，则

)1,1,1(1),,(0),,()0,2,2(0),,()2,0,2(00

3331131===⇒⎩

⎨

⎧=⋅-=⋅-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n x x x x n z y x z y x n B A n A 有令 设C 1到平面A 1B 1D 的距离为d ，则332|

|331==n d

（3）若点C 在平面ABD 上的射影正好为M ，则0=⋅⇒⊥

即6,2343)4(0)4,0,2(34,32,322==⇒=-⇒=--⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛-a a a a a （舍）

1

z

x

·

因为D 为CC 1的中点，根据对称性可知C 1在平面A 1B 1D 的射影正好为N 。

27．在Rt ∆ABC 中，∠ACB=30 ，∠B=90 ，D 为AC 中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，

将∆ABD 沿BD 折起，二面角A －BD －C 大小记为θ。

（1） 求证：面AEF ⊥面BCD ； （2） θ为何值时，AB ⊥CD 。

（1）证明：在Rt ∆ABC 中，∠C=30 ，D 为AC 的中点，则∆ABD 是等边三角形又因E 是BD 的中

点， BD ⊥AE ，BD ⊥EF ，折起后，AE EF=E ，∴ BD ⊥面AEF BD ⊂面BCD ，∴

面AEF ⊥ 面BCD 。

（2）过A 作AP ⊥面BCD 于P ，则P 在FE 的延长线上，设BP 与CD 相交于Q ，令AB=1，则∆ABD

是边长为1的等边三角形，若AB ⊥CD ，则BQ ⊥CD ⇒PE=

3

1AE=33又AE=23

∴折后有cosAEP=

AE PE =3

1

由于∠AEF=θ就是二面角A －BD －C 的平面角，

∴当θ=π－arccos 3

1

时，AB ⊥CD

28．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1 中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，

侧棱AA 1与底面ABC 成600

的角， AA 1= 2．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心 为G 点。E 是线段BC 1上一点，且BE=

3

1

BC 1 ． （１）求证： GE ∥侧面AA 1B 1B ；

（２）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小

解法1：(1)延长B 1E 交BC 于F, ∵ΔB 1EC ∽ΔFEB, BE ＝2

1ＥＣ１

∴ＢＦ＝21Ｂ１Ｃ１＝21ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点． …………… ……………２′

∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且

FA FG ＝1FB FE ＝3

1

，∴GE ∥AB 1， 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ， ∴GE ∥侧面AA 1B 1B ……………… ………６＇

（２）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，∴B 1

Ｈ⊥底面ABC ．又侧棱AA 1与底面ABC 成600

的角， AA 1= 2， ∴∠B 1ＢＨ＝６００

，ＢＨ＝１，B 1Ｈ＝3．

在底面ABC 内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B 1Ｔ．由三垂线定理有B 1Ｔ⊥ＡＦ， 又平面B 1GE 与底面ABC 的交线为ＡＦ，∴∠B 1ＴＨ为所求二面角的平面角．……９＇

∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００， ∴ＨＴ＝ＡＨsin300

＝2

3，

在ＲｔΔB 1ＨＴ中，ｔａｎ∠B 1ＴＨ＝HT

H B 1＝332 ，

从而平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为arctan 3

32 ……………… 12′

解法2：（１）∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成600

的角，

∴∠A 1AB ＝６００

，又AA 1= ＡＢ= 2，取ＡＢ的中点Ｏ,则ＡＯ⊥底面ABC ． 以O 为原点建立空间直角坐标系O －ｘｙｚ如图，

则Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｃ（3，０，０），

Ａ１（０，０，3）Ｂ１（０，２，3），Ｃ１（3，１，3）． ……３＇

∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ｇ（3

3，０，０）， ∵＝311BC

∴Ｅ（33，１，33）∴＝（０，１，33）＝3

11AB ，

又GE ⊄侧面AA 1B 1B ， ∴GE ∥侧面AA 1B 1B …………… ……６＇ （２）设平面B 1GE 的法向量为ｎ＝（ａ，ｂ，ｃ）， 则由ｎ·B 1＝０及ｎ·＝０得33ａ－ｂ－332ｃ＝０；ｂ＋33ｃ＝０．

可取ｎ＝（3，－１，3）． ……………8＇

又底面ABC 的法向量为ｍ＝（０，０，１）， ……………9′ 设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ， 则cos θ＝

|

|||n m ⨯∙＝721, ∴θ＝arccos 721. ………………

12’

29．已知三棱锥P —ABC 中PB ⊥底面ABC ，︒=∠90BCA ，

PB=BC=CA=a ，E 是PC 的中点，点F 在PA 上，且3PF=FA. （1）求证：平面PAC ⊥PBC ；

（2）求平面BEF 与底面ABC 所成角（用一个反三角函数值表示）.

（1）证明：∵PB ⊥底面ABC ，∴PB ⊥AC …………1分，又∠BCA=90°

∴AC ⊥平面PBC …………4分

又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBC …………5分 （2）解：设FE 的延长线与AC 的延长线交于M ，连MB ，

则MB 为平面BEF 与平面ABC 的交线…………6分

在平面PCA 中，由已知E 是PC 的中点，F 是PA 的四等分点，

a AC MC 2

1

21==

∴…………7分 取BC 的中点H ，则EH//PB ， ∴EH ⊥底面ABC …………8分

过H 作HO ⊥MB 于O ，由三垂线定理，EO ⊥MB

则∠EOH 为平面BEF 与底面ABC 所成二面角的平面角…………9分 在a HO BCM Rt 105,=

∆中，在a EH EHO Rt 2

1

,....=∆中…………10分 5tan ==

∠∴HO

EH

EOH …………11分 即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为5arctan …………12分

若利用面积射影法，指出△HDB 是△EFB 在底面ABC 上的射影，并计算出其面积

2

16

1a S =

射影…………7分 计算出2166a S EFB =∆…………10分 6

1cos =

=

∆EFB

S S 射影θ…………11分

即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为6

6

arccos

…………12分 30．三棱锥A B C S -中，底面△ABC 是顶角为α=∠ABC 、a AC =的等腰△，

2

π

=

∠SCA ，b SC =，

侧面SAC 与底面ABC 所成二面角为E )2

0(π

θθ≤<、D 分别为SA

和AC 的中点

(1)求证无论θ，α为何值时，点S 到截面BDE 的距离为定值 (2)求三棱锥ABC S -的体积

(理)(1)∵E 、D 为中点，∴ED ∥SC ，∴SC ∥面BDE ∴S 到截面BDE 的距离为C 到截面BDE 的距离. 又,AC SC ⊥∴.AC ED ⊥∵,AC AB =∴,AC BD ⊥

∴⊥AC 面BDE

∴C 到截面BDE 的距离为,a

CD 2=

即S 到截面BDE 的距离为.2

a (2)由(1)知θ=∠BDE ,又,2121

b SC ED ==

∴E 到ABC 的距离为.sin 2

θb

a BD AD S ABD 21

2121⨯=⋅=

∆,a ctg a a actg 2

812212=⨯ ∴.sin 2

121sin 2281314422θθa

bctg a b a ctg a V V ABD E ABC S =⨯⨯⨯==--