概率论与数理统计期末考试试题及解答

1．设事件仅发生一个的概率为，且，则至少有一个不发生的概率为__________.

答案：

解：

即

所以

.

2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.

答案：

解答：

由知

即解得，故

3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.

答案：

解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则

因为，所以，即

故

另解在上函数严格单调，反函数为

所以

4．设随机变量相互，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.

答案：，

解答：

，故

.

5．设总体的概率密度为

.

是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.

答案：

解答：

似然函数为

解似然方程得的极大似然估计为

.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设为三个事件，且相互，则以下结论中不正确的是

（A）若，则与也.

（B）若，则与也.

（C）若，则与也.

（D）若，则与也.（）

答案：（D）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.

事实上由图可见A与C不.

2．设随机变量的分布函数为，则的值为

（A）.（B）.

（C）.（D）.（）

答案：（A）

解答：所以

应选（A）.

3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是

（A）与.（B）.

（C）.（D）.（）

答案：（B）

解答：由不相关的等价条件知，

应选（B）.

4．设离散型随机变量和的联合概率分布为

若，则的值为

（A）.（A）.

（C）（D）.（）

答案：（A）

解答：若则有

，

故应选（A）.

5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中

正确的是

（A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.

（C）是的相合（一致）估计量.（D）不是的估计量.（）

答案：（A）

解答：

，所以是的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为，一个次品被误认为是合格品的概率为，

求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；

（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’

‘任取一产品确是合格品’

则（1）

（2）.

四、（12分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，

求的分布列、分布函数、数学期望和方差.

解：的概率分布为

即

的分布函数为

.

五、（10分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.

解：（1）的概率密度为

（2）利用公式

其中

当或时

时

故的概率密度为

的分布函数为

或利用分布函数法

六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互，且均服从分布.求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.

解：（1）

；

（2）

.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为的置信区间；（2）检验假设（显着性水平为）.

（附注）

解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为的置信区间为（，）

（2）的拒绝域为.

，

因为，所以接受.

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）

专业、班级：姓名：学号：

一、单项选择题(每题3分共18分)

1．D2．A3．B4．A5．A6．B

(2)因为

所以与不相互

…………8分

七、（8分）设二维随机变量的联合密度函数为

求：（1）；（2）求的边缘密度。

解：（1）…………..2分

=

=[]………….4分

…………..6分

……………..8分

八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

解：因为得………….2分

用表示出售一台设备的净盈利

…………3分

则

………..4分

所以

（元）………..6分

九、（8分）设随机变量与的数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，求。

解：已知

则……….4分

……….5分

……….6分

=12…………..8分

十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.

解：用表示第户居民的用电量，则

………2分

则1000户居民的用电量为，由同分布中心极限定理

………3分

=………4分

……….6分

=………7分

十一、（7分）设是取自总体的一组样本值，的密度函数为

其中未知，求的最大似然估计。

解:最大似然函数为

……….2分

=……….3分

则

………..4分

令………..5分

于是的最大似然估计：

。……….7分

十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为，长期以来方差稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为，试求的置信水平为95%的置信区间。（）

解：因为已知，且…………1分

故…………2分

依题意

则的置信水平为95%的置信区间为

…………4分

即为[,]…………

专业、班级：姓名：学号：