应用于电能质量的压缩感知稀疏基的研究

摘要：为了解决基于傅里叶变换基的压缩感知对电能质量干扰信号压缩采样丢失时变信息的问题，本文进行了基于小波变换基的压缩感知电能质量研究。首次提出采用不同小波基的小波变换基作为稀疏基，来提高压缩感知对电能质量干扰信号的重构效果，为电能质量研究提供了一种新的研究方向；并通过实验仿真对比了基于傅里叶变换基和基于小波变换基的压缩感知重构效果。在压缩感知重构算法分别采用正交匹配追踪算法和压缩采样匹配追踪算法下，仿真结果表明，压缩感知应用于电能质量时，基于小波变换基的压缩感知重构效果优于基于傅里叶变换基的压缩感知重构效果；当压缩采样比是20%，稀疏基采用d b 3小波变换基时，均方误差均低于0.1%，良好地完成了原始电能质量干扰信号的重构。

关键词：电能质量；压缩感知；小波变换

应用于电能质量的压缩感知稀疏基的研究

范建鹏１简献忠１周海１严军１郭强２

（１．上海理工大学光电信息与计算机工程学院上海２０００９３；２．国家卫星气象中心北京１０００８１）

１引言

随着现代科学技术的发展，用户对电能质量的要求越来越高。传统电力系统的电能质量监测采样得

到海量数据［１］，

造成存储成本增加及传输效率降低，因此减少海量的原始电能质量数据是完成对电能质量实时监测的关键技术。

近年来，Ｄ．Ｄｏｎｏｈｏ和Ｅ．Ｃａｎｄｅｓ及Ｔ．Ｔａｏ等提出了压缩感知ＣＳ（ＣｏｍｐｒｅｓｓｅｄＳｅｓｉｎｇ）理论［２￣４］，为减少原始电能质量数据提供了一种新的方法。在ＣＳ理论出现之前，文献［５￣８］应用傅里叶变换对电能质量进行了研究，指出傅里叶变换对时变非平稳电能质量信号的描述具有一定的局限性；文献［９￣１１］对电能质量检测、分类及数据压缩进行了研究，指出小波变换具有自身良好的时频局部化特性。文献［１２］应用基于傅里叶变换基的ＣＳ理论对暂态和短时电能质量进行了研究。

为了解决基于傅里叶变换基的ＣＳ对电能质量干扰信号压缩采样丢失时变信息的问题，本文ＣＳ理论

的稀疏基分别采用傅里叶变换基和小波变换基，重构算法分别采用正交匹配追踪ＯＭＰ（ＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＭａｔｃｈｉｎｇＰｕｒｓｕｉｔ）和压缩采样匹配追踪ＣｏＳａＭＰ（Ｃｏｍ－

ｐｒｅｓｓｉｖｅＳａｍｐｌｉｎｇＭａｔｃｈｉｎｇＰｕｒｓｕｉｔ），用ＣＳ理论对电能质量干扰信号压缩采样进行了ＭＡＴＬＡＢ仿真研究与分析。

２压缩感知理论基础

ＣＳ理论主要包括三部分内容：

信号稀疏表示、信号观测和信号重构。压缩感知理论框图如图１所示。

2.1信号稀疏表示

信号稀疏或能稀疏表示是压缩感知理论的前提

图1压缩感知原理图

F ig .1S chematic d iag r am o f c o mp r esse d sensing

基金项目：国家自然科学基金(41075019)

18

条件。假设一维离散信号为X =x 1，x 2,…,x N

T

（X ∈R

N ×1

），则可以用任意一组正交基ψi 00N

i=1

线性表示，ψi 00N

i

=ψ1,ψ2,…,ψN （ψi 为N 维列向），即：X=N

i=1∑s i ψi ，即X=ΨS

（1）

(1)式中展开系数s i =X,ψi ∑

∑，为N 维列向量S 的元素，Ψ=ψi 00N

i

=ψ1,ψ2,…,ψN （ψi 为N 维列向量）。假设展开系数向量S 中仅有K （K<S 是信号的等价表示，X 是信号的时域表示，S 是信号

的变换域表示。

2.2%信号观测

信号X 的观测过程可表示为：

Y=ΦX

（2）

(2)式可得到M （M<)，其中Φ称为感知矩阵或观测矩阵。经观测

过程后，任一稀疏或可压缩信号X 由N 维降到M 维Y 。为了使少量线性投影向量Y 中包含重构信号X 的足量信息，必须保证观测矩阵Φ和稀疏基Ψ不相关、观测矩阵满足有限等距性质(Restricted Isometry Property,

RIP)[4]。将X 变换到Ψ域观测过程表示如下：

Y=ΦX=ΦΨS=A CS

S

（3）

其中CS 信息算子A CS =ΦΨ，为M ×N 维矩阵。

３%信号重构

信号重构过程既是求解欠定方程组(3)过程，但求解欠定方程组似乎是无望的，文献[2]指出在信号X 是稀疏或可压缩的前提下，求解欠定方程组（3）的问题可转化为最小l 0范数问题：

min ‖ΦX ‖0s.t.Y=A CS

X=ΦΨT

X

（4）

而求解式（4）中l 0最小化问题是一个NP-hard （Nondeterministic Polynomial-time hard ）问题［13］，故

Donoho 等人提出将（4）的非凸的优化目标用l 1范数来

代替

［14］

。

min ‖ΦX ‖1s.t.Y=A CS

X=ΦΨX

（5）

信号的重构算法都是基于式（4）或式（5）来重构

信号的。

４%性能指标

文献［12］给出了3种算法技术指标，分别为重构信噪比SNR （signal to noise ratio ）、均方误差百分值

MSE （mean squared error ）能量恢复系数ERP （Energy Recovery Percentage ），分别为(6)式，(7)式和(8)式，其中y(i)和y

赞(i)分别为原始信号和压缩采样后的重构信号，N 为信号长度。将用这三个指标评价CS 理论对电能质量干扰信号压缩采样的重构效果。

R SNR =10lg N

i=1

∑y(i)%2

/N

i=1

∑y(i)－y

赞(i)%2

（6）

E MSE （%）=N i=1

∑

y(i)%2

姨/

N

i=1

∑

y(i)－y

赞(i)%2

姨

×10000

%（7）P ERP （%）=

N i=1

∑

y

赞(i)%2

/N

i=1

∑y(i)%2

×10000

%（8）

５实验仿真

电力系统最常见的电能质量扰动有电压脉冲、电压中断、电压震荡、电压暂升、电压暂降、电压谐波、电压闪变、电压尖峰和电压缺口等。本文利用ＭＡＴＬＡＢ７．１生成电压质量扰动信号样本，采样频率为６４００Ｈｚ，电压基波频率为５０Ｈｚ，信号长度Ｎ＝２０４８，测量次数Ｍ＝２５６，采用高斯型测量矩阵，因为它与任何稀疏性信号均不相关的特性恰好符合压缩感知理论对观测矩阵的要求［１３］，每个实验都仿真了２００次。5.1测量次数的选取

图2电压暂升在不同的测量次数下的S N R 曲线图

F ig .2S N R

cu r ves o

f V o ltage S w ell at d iffe r ent measu r e d times

19

以电压暂升为例分析测量次数的选取，从图２和图３中我们可以得出测量次数选择Ｍ＝２５６比较合适。当测量次数小于２５６左右时，重构信噪比会迅速下降，均方误差迅速增大；当测量次数大于２５６左右时，ＳＮＲ曲线变化缓慢，均方误差曲线也变化缓慢。5.2稀疏基的选取

目前，在电能质量研究中主要采用傅里叶变换和小波变换。傅里叶变换是在整个时域内积分，因而会丢失非平稳信号中的时变信息［６］。本文以电压脉冲为例说明，当ＣＳ的稀疏基采用傅里叶变换基时，ＭＡＴＬＡＢ仿真结果如图４所示。

从图４中可以看出基于傅里叶变换基的恢复信号已失去了电压脉冲信号的时变信息。小波变换具有良好的时频局部特性，同时可以提取信号的时频特性。当ＣＳ的稀疏基采用小波变换基时，仿真结果如图５所示，从图５中可以看出基于小波变换基的恢复

信号已经很好地恢复了电压脉冲信号的时变信息，解决了基于傅里叶变换基丢失时变信息的问题。

６重构效果研究

本文选取Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波中的ｄｂ１，ｄｂ２，ｄｂ３作为小波基，采用ＯＭＰ、ＣｏＳａＭＰ重建算法，ＣＳ仿真数据结果分别如表１和表２所示。6.1理论分析

正则性是小波基的基本性质之一，它表征了小波基的光滑程度，其定义如下：设函数ｆ（ｔ）的Ｎ阶导数存在，对任意t,β∈R ，若有

|f (N)

(t+β)－f (N)

(t)|α

（9）

（９

）式中：０＜α＜１，ｃ是与ｔ，β无关的常量，那么称ｆ（ｔ）具有Ｎ＋α阶正则性。正则性越好，收敛越快，其邻域能量越集中，重构信号质量越好。小波基的正则性主要影响着小波系数重构的稳定性，为了获得更好的重构信号，则通常对小波要求一定的正则性。

本文仿真实验采用的小波基分别为ｄｂ１、ｄｂ２、ｄｂ３，由于ｄｂ３的正则性比ｄｂ１和ｄｂ２的正则性高［１５］，故

理论上ｄｂ３的重构效果应比ｄｂ１或ｄｂ２的重构效果要好，该结论在以下实验仿真结果中得到了充分证明。6.2仿真实验结果与分析

本文实验的压缩采样比为２０％（测量数据的长度与原始数据长度之比）。从表１和表２可以得出，在相同的小波基时，不同的重构算法的均方误差基本相同；而在相同的重构算法，不同的小波基时，基于ｄｂ３的均方误差小于０．１％，明显小于基于ｄｂ１和ｄｂ２的均方

误差，

即基于ｄｂ３的重构效果比基于ｄｂ１或ｄｂ２的重构图3电压暂升在不同测量次数下的M S E 曲线图

F ig .3M S E cu r ves

o f V o ltage S w ell at d iffe r ent measu r e d times

图4基于傅里叶变换基的电压脉冲重构信号

F ig .4R ec o nst r ucti o n signal o f v o ltage pulse base

d o n the

F o u r ie r t r ansf or m mat r ix

图5基于小波变换基的电压脉冲重构信号

F ig .5R ec o nst r ucti o n signal o f v

o ltage pulse base d o n

the W avelet t r ansf or m mat r ix

20

扰动信号ｄｂ１

ｄｂ２

ｄｂ３

ＳＮＲ值

／ｄＢ

ＭＳＥ值／％ＥＲＰ值／％ＳＮＲ值／ｄＢＭＳＥ值／％ＥＲＰ值／％ＳＮＲ值／ｄＢＭＳＥ值／％ＥＲＰ值／％电压暂

升３２．２０２．４５９９．９３９８５７．２９０．１４９９．９９９７６７．３２０．０４９９．９９９９电压暂

降３２．２０２．４５９９．９３９８５６．６３０．１５９９．９９９７６５．８９０．０５９９．９９９９电压中

断３２．２０２．４５９９．９３９８５４．５７０．１９９９．９９９５６０．０７０．１０９９．９９９８电压尖

峰３０．９７２．８３９９．９５７８４２．５１０．７５９９．９９４３４２．６９０．７３９９．９９４６电压缺

口３１．０３２．８１９９．９４８１４１．９３０．８０９９．９９３５４３．６５０．６６９９．９９５６电压振

荡２９．８３３．２３９９．９６５６４４．１００．６２９９．９９６１４５．２００．５５

９９．９９７

电压闪

变３２．２０２．４６９９．９３９７５７．０５０．１４９９．９９７０６７．５４０．０４９９．９９９９电压脉

冲３２．２１２．４５９９．９４００５７．０６０．１４９９．９９９７５７．５２０．１３９９．９９９８短时谐

波

３０．９２２．８４９９．９５９１５０．０７

０．３１９９．９９８９５７．０４

０．１４９９．９９９７

表２ＣｏＳａＭＰ重构算法仿真结果

Ｔａｂｌｅ２ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆＣｏＳａＭＰｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ

表１ＯＭＰ重构算法仿真结果

Ｔａｂｌｅ１ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆＯＭＰｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ

扰动

信号ｄｂ１

ｄｂ２

ｄｂ３

ＳＮＲ值

／ｄＢ

ＭＳＥ值／％ＥＲＰ值／％ＳＮＲ值／ｄＢＭＳＥ值／％ＥＲＰ值／％ＳＮＲ值／ｄＢＭＳＥ值／％ＥＲＰ值／％电压暂

升３２．２０２．４５９９．９３９８５７．２９０．１４９９．９９９７６７．３２０．００４９９．９９９９电压暂

降３２．２０２．４５９９．９３９８５６．６３０．１５９９．９９９７６５．８９０．０５１９９．９９９９电压中

断３２．２０２．４５９９．９３９８５４．５７０．１９９９．９９５０６０．０７０．０９９９９．９９９８电压尖

峰３０．５０２．９９９９．９７４９４２．５１０．７５９９．９９４３４２．６９０．７３０９９．９９４６电压缺

口３０．６８２．９３９９．６１１０４１．９３０．８０９９．９９３５４３．６５０．６６０９９．９９５６电压振

荡２９．１７３．４８９９．９９８１５８．５００．１２９９．９９９９８５．３９０．０５４１００．０００电压闪

变３２．２０２．４６９９．９３９７５７．０５０．１４９９．９９９７６７．５４０．０４２９９．９９９９电压脉

冲３２．０４２．５０９９．９４４５５９．５２０．１１９９．９９９９７０．６４０．０３０１００．０００短时谐

波

３０．４５３．００９９．９７７４５０．０７

０．３１９９．９９８９５７．０４

０．１４０９９．９９９７

图6电压脉冲不同小波基重构误差对比

F ig .6R ec o nst r ucti o n e rror s o f v o ltage pulse base d o n

d iff

e r ent w avelet basises

效果好。以电压脉冲的均方误差为例，基于ｄｂ１，ｄｂ２，ｄｂ３的重构误差对比如图６所示。

７结语

本文针对ＣＳ理论应用于电能质量上如何选取稀疏基进行研究，采用了比较基于傅里叶变换基和小波变换基重构效果以及比较基于不同小波基的小波变换基的重构效果两种方法。实验结果表明基于傅里叶变换基的ＣＳ会导致电能质量干扰信号的时变信息丢失，而基于小波变换基的ＣＳ能够很好地恢复电能质量干扰信号的时变信息；基于不同小波基的小波变换基会影响ＣＳ对电能质量干扰信号重构效果。这种基于不同小波基的压缩感知为电能质量研究提供了一种新的研究方向；并且本文的研究为减少智能电网实时监测的海量数据提供一种方法和一定的理论依据，也为ＣＳ理论应用于图像压缩、雷达探测、无线通信等领域时选择稀疏基提供了一定参考价值和研究方向。参考文献

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21

号数，

即ＣＦＩ，取值范围为１￣３。每个调度资源块占用一对ＲＢ，不同带宽下每帧的调度资源块数n ＳＢ，ｆｒａｍｅ如表５所示：

用L ＰＤＳＣＨ，ｍａｘ为用于寻呼的ＰＤＳＣＨ资源占总资源的比例，则确定ＰＤＳＣＨ负荷下的寻呼能力C ＰＤＳＣＨｌｏａｄ为：

C ＰＤＳＣＨｌｏａｄ＝

１００n ＳＢ，ｆｒａｍｅ×L ＰＤＳＣＨ，ｍａｘ

n ＳＢ，ｐａｇｅ

（５）

L ＰＤＳＣＨ，ｍａｘ根据业务需要进行配置，资源配置过少，将会带来寻呼时延和连接建立时间延长，甚至造成寻呼阻塞，网络资源配置应满足阻塞的要求。同时也要考虑终端的寻呼需求，一般不超过５％。

在２０ＭＨｚ带宽下，当L ＰＤＳＣＨ，ｍａｘ＝５％时，ＰＤＣＣＨ占用２个符号时，代入式４得到寻呼容量约为每秒寻呼１６００个ＵＥ。

５总结

目前，

ＬＴＥ网络尚处于部署初期阶段，用户规模小，主要用于提供数据业务，数据业务主要是主动发起连接，因此使用寻呼的业务有限，寻呼容量不宜配置过高，网络资源可以更多地分配给用户。随着ＬＴＥ

网络的成熟和ＬＴＥ手机终端的丰富，寻呼需求将会增多，寻呼容量应及时进行调整，做好寻呼与用户数据之间的平衡，使用户持续得到良好的体验。参考文献

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［Ｓ］

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（ＲＲＣ）Ｐｒｏｔｏｃｏｌｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ［Ｓ］

［４］ＬＴＥ－ＴＡ－Ｐｌａｎｎｉｎｇ，２００９．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｃｒｉｂｄ．ｃｏｍ／ｄｏｃ／１４９３３

７６２４／ＬＴＥ－ＴＡ－Ｐｌａｎｎｉｎｇ

［５］堵久辉，缪庆育（译）．４Ｇ移动通信技术权威指南［Ｍ］．北京：人

民邮电出版社，２０１２：２３８－２３９

［６］张建国．ＴＤ－ＬＴＥ寻呼过程及寻呼流量分析［Ｊ］．移动通信，

２０１２年第１０期：７３－７５

作者简介：

何二朝，男，河北平山人，工学硕士，主要从事无线网络设计及规划工作，工作单位是河北电信设计咨询有限公司；张慧丽，女，河北藁城人，高级工程师，主要从事无线网络规划、设计及无线新技术研究等工作；刘毅，男，河北石家庄人，工学硕士，项目技术部主任，主要从事通信新技术的研究等工作。■

表５不同带宽下的调度资源块数

带宽５ＭＨｚ１０ＭＨｚ１５ＭＨｚ２０ＭＨｚn ＳＢ，ｆｒａｍｅ

２５０

５００

７５０

１０００

（上接第8页）

压缩［Ｊ］．电力系统自动化，２００２，２６（１９）：６１－６３

［１２］王学伟，王琳，苗桂君等．暂态和短时电能质量扰动信号压

缩采样与重构方法［Ｊ］，电网技术，２０１２，３６（３）：１９１－１９６［１３］ＲＢａｒａｎｉｕｋ．Ａｌｅｃｔｕｒｅｏｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅｓｅｎｓｉｎｇ

［Ｊ］．ＩＥＥＥ

ＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＭａｇａｚｉｎｅ，２００７，２４（４）：１１８－１２１［１４］ＤＤｏｎｏｈｏ，ＹＴｓａｉｇ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．

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［１５］ＩｎｇｒｉｄＤｏｕｂｅｃｈｉｅｓ．Ｔｈｅｔｅｎｌｅｃｔｕｒｅｓｏｎｗａｖｅｌｅｔｓ［Ｍ］．

Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ：ＳＩＡＭ，１９９２

作者简介：

范建鹏（1986-），男，河南商丘人，硕士研究生。主要从事电力系统的电脑质量数据压缩与评价的研究；简献忠

(1969-)，男，湖南邵阳人、副教授、博士。主要从事电能质量

评价与无功优化研究。■

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