2017-2018学年辽宁省沈阳市大东区八年级(下)期中数学试卷

期中数学试卷

（考试时间：100分       满分：120分）

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题2分，共20分）

1．（2分）如果a＞b，那么下列各式一定正确的是（　　）

A．a2＞b2    B．    C．﹣2a＜﹣2b    D．a﹣1＜b﹣1

2．（2分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，0）    B．（﹣1，6）    C．（﹣3，﹣6）    D．（﹣1，0）

3．（2分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）

A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2    

B．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1）    

C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n）    

D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z

4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，若CD＝m，AB＝2n，则△ABD的面积是（　　）

A．mn    B．5mn    C．7mn    D．6mn

5．（2分）分式的值为零，则x的值为（　　）

A．3    B．﹣3    C．±3    D．任意实数

6．（2分）计算（﹣2）99+（﹣2）100的结果为（　　）

A．﹣299    B．299    C．2100    D．﹣2

7．（2分）若分式中的x，y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

A．不变    B．扩大到原来的2倍    

C．扩大到原来的倍    D．扩大到原来的0.5倍

8．（2分）如图所示的Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有（　　）

（1）①⇒②是旋转

（2）①⇒③是平移

（3）①⇒④是平移

（4）②⇒③是旋转．

A．1种    B．2种    C．3种    D．4种

9．（2分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0；  ②b＜0；  ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①④

10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A．（4，2）    B．（3，3）    C．（4，3）    D．（3，2）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是　   　．

12．（3分）下列分式的变形中：①＝（c≠0）②＝﹣1；③＝；④＝，错误的是　   　．（填序号）

13．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为　   　．

14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　   　．

15．（3分）在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为　   　．

16．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为　   　．

三、解答题（第17题16分，第18题8分，19题各6分共30分）

17．（16分）因式分解

（1）9m2﹣25n2                                                             （2）m2﹣mn+n2

（3）2x2y﹣8xy+8y                           （4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9

18．（8分）分式计算

（1）•                          （2）﹣

19．（6分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1＝0．

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC垂足为F，且BD＝CD．

（1）求证：BE＝CF；

（2）若AB＝8，AC＝12，则AE＝　   　．

21．（8分）已知A＝﹣

（1）化简A；

（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．

五、（本题8分）

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

六、（本题8分）

23．（8分）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价

均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：

（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？

七、（本题8分）

24．（8分）阅读下列计算过程

把多项式x2﹣11x+24分解因式，可以采取以下两种方法：

①将﹣11x拆成两项，﹣6x﹣5x；将24拆成两项，9+15，则：x2﹣11x+24＝x2﹣6x+9﹣5x+15＝（x2﹣6x+9）﹣5（x﹣3）＝（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝（x﹣3）[（x﹣3）﹣5]＝（x﹣3）（x﹣8）．

②添加一个数（）2，再减去这个数（）2，则：

x2﹣11x+24＝x2﹣11x+（）2﹣（）2+24＝[x2﹣11x+（）2]﹣＝（x﹣）2﹣（）2＝（x﹣+）＝（x﹣3）（x﹣8）．

（1）根据上面的启发，请任选一种方法将多项式x2+4x﹣12分解因式；

（2）已知A＝a+10，B＝a2﹣a+7，其中a＞3，指出A与B哪个大，并说明理由．

八、（本题12分）

25．（12分）如图1，已知∠MON＝90°，点A、B分别是∠MON的边OM，ON上的点．且OA＝OB＝1，将线段OA绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段OC，∠AOC的角平分线OP与直线BC相交于点P，点D是线段BC的中点，连接OD．

（1）若α＝30°，如图2，∠P的度数为　   　°；

（2）若0°＜α＜90°，如图1，求∠P的度数；

（3）在下面的A、B两题中任选一题解答．

A：在（2）的条件下，在图1中连接PA，求PA2+PB2的值．

B：如图3，若90°＜α＜180°，其余条件都不变．请在图3中画出相应的图形，探究下列问题：①直接写出此时∠P的度数；②求此时PC2+PB2的值．

我选择　   　题．

2017-2018学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题2分，共20分）

1．（2分）如果a＞b，那么下列各式一定正确的是（　　）

A．a2＞b2    B．    C．﹣2a＜﹣2b    D．a﹣1＜b﹣1

【分析】看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．

【解答】解：A、两边相乘的数不同，错误；

B、不等式两边都除以2，不等号的方向不变，错误；

C、不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，正确；

D、不等式两边都减1，不等号的方向不变，错误；

故选：C．

【点评】主要考查不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．（2分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，0）    B．（﹣1，6）    C．（﹣3，﹣6）    D．（﹣1，0）

【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．

【解答】解：根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1＝﹣3，纵坐标是﹣3+3＝0，即新点的坐标为（﹣3，0）．

故选：A．

【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

3．（2分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）

A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2    

B．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1）    

C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n）    

D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z

【分析】根据因式分解的意义，可得答案．

【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；

B、是整式的乘法，故B不符合题意；

C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式解题关键．

4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，若CD＝m，AB＝2n，则△ABD的面积是（　　）

A．mn    B．5mn    C．7mn    D．6mn

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，

∴DE＝CD＝m，

∴△ABD的面积＝×2n×m＝mn，

故选：A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

5．（2分）分式的值为零，则x的值为（　　）

A．3    B．﹣3    C．±3    D．任意实数

【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．

【解答】解：依题意，得

|x|﹣3＝0且x+3≠0，

解得，x＝3．

故选：A．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

6．（2分）计算（﹣2）99+（﹣2）100的结果为（　　）

A．﹣299    B．299    C．2100    D．﹣2

【分析】原式提取公因式，计算即可求出值．

【解答】解：原式＝（﹣2）99×（1﹣2）＝﹣299×（﹣1）＝299，

故选：B．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（2分）若分式中的x，y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）

A．不变    B．扩大到原来的2倍    

C．扩大到原来的倍    D．扩大到原来的0.5倍

【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．

【解答】解：将分式中的x，y的值均扩大为原来的2倍，

得：＝＝＝•，

∴分式的值扩大到原来的0.5倍，

故选：D．

【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

8．（2分）如图所示的Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有（　　）

（1）①⇒②是旋转

（2）①⇒③是平移

（3）①⇒④是平移

（4）②⇒③是旋转．

A．1种    B．2种    C．3种    D．4种

【分析】根据旋转、平移的判断方法，逐一判断．

【解答】解：观察图形可知，（1）（3）（4）说法正确；

（2）①⇒③需要改变旋转中心，经过两次旋转得到，不属于平移，错误；

正确的有三种，故选C．

【点评】解答此题要明确平移和旋转的性质：

（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．

（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．

9．（2分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0；  ②b＜0；  ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①③    D．①④

【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．

【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；

一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；

由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误；

当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确；

故选：D．

【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．

10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A．（4，2）    B．（3，3）    C．（4，3）    D．（3，2）

【分析】作AM⊥x轴于点M．根据等边三角形的性质得出OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM＝OA＝1，AM＝OM＝，则A（1，），直线OA的解析式为y＝x，将x＝3代入，求出y＝3，那么A′（3，3），由一对对应点A与A′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B′的坐标．

【解答】解：如图，作AM⊥x轴于点M．

∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），

∴OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，

∴OM＝OA＝1，AM＝OM＝，

∴A（1，），

∴直线OA的解析式为y＝x，

∴当x＝3时，y＝3，

∴A′（3，3），

∴将点A向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得A′，

∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得B′，

∴点B′的坐标为（4，2），

故选：A．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．求出点A′的坐标是解题的关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是　5m2n　．

【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；

（2）字母取各项都含有的相同字母；

（3）相同字母的指数取次数最低的．

【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，

各项系数的最大公约数是5，

各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，

所以它的公因式是5m2n．

故答案是：5m2n．

【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．

12．（3分）下列分式的变形中：①＝（c≠0）②＝﹣1；③＝；④＝，错误的是　③④　．（填序号）

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【解答】解：③原式＝，故③错误；

④原式＝，故④错误；

故答案为：③④．

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

13．（3分）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．

【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．

【解答】解：阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2﹣b2，乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．

即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

所以验证成立的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．

14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　m≤3　．

【分析】先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，根据同大取大得到m≤3．

【解答】解：，

解①得x＞3，

∵不等式组的解集为x＞3，

∴m≤3．

故答案为m≤3．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．

15．（3分）在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为　2cm　．

【分析】根据B与B′关于O对称，即可求得B′，从而得到旋转后的三角形，在Rt△OBC中利用勾股定理即可求得OB的长度，BB′＝2OB，据此即可求解．

【解答】解：如图所示：在直角△OBC中，OC＝AC＝BC＝1cm，

则OB＝＝（cm），

则BB′＝2OB＝2（cm）．

故答案为：2cm．

【点评】本题考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，正确理解BB′＝2OB是解题关键．

16．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为　8　．

【分析】连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．

【解答】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴AM＝BM．

∴BM+MD＝MD+AM．

∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．

∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

三、解答题（第17题16分，第18题8分，19题各6分共30分）

17．（16分）因式分解

（1）9m2﹣25n2

（2）m2﹣mn+n2

（3）2x2y﹣8xy+8y

（4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9

【分析】（1）根据平方差公式可以分解因式；

（2）根据完全平方公式可以分解因式；

（3）先提公因式，再根据完全平方公式可以分解因式；

（4）根据完全平方公式和平方差公式可以分解因式．

【解答】解：（1）9m2﹣25n2

＝（3m+5n）（3m﹣5n）；

（2）m2﹣mn+n2

＝（m﹣n）2；

（3）2x2y﹣8xy+8y

＝2y（x2﹣4x+4）

＝2y（x﹣2）2；

（4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9

＝[（1﹣y2）+3]2

＝（1﹣y2+3）2．

＝（4﹣y2）2

＝（2+y）2（2﹣y）2．

【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解答本题的关键是明确因式分解的方法．

18．（8分）分式计算

（1）•

（2）﹣

【分析】（1）先将第1个分式因式分解，再约分即可得；

（2）先通分，再根据法则计算，最后约分即可得．

【解答】解：（1）原式•＝；

（2）原式＝﹣

＝

＝

＝．

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

19．（6分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1＝0．

【分析】根据分式的化简即可求出答案．

【解答】解：由于a2+3a﹣1＝0

∴a2+3a＝1

原式＝÷

＝•

＝

＝

＝

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC垂足为F，且BD＝CD．

（1）求证：BE＝CF；

（2）若AB＝8，AC＝12，则AE＝　10　．

【分析】（1）由△ADE≌△ADF（AAS），推出AE＝AF，DE＝DF，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）即可解决问题．

（2）利用全等三角形的性质即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC垂足为F，

∴∠DAE＝∠DAF，∠E＝∠AFD＝90°，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADF（AAS），

∴AE＝AF，DE＝DF，

∵∠E＝∠DFC＝90°，DE＝DF，DB＝CD，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE＝CF，

（2）∵AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝2AE，

∴20＝2AE，

∴AE＝10．

故答案为10．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

21．（8分）已知A＝﹣

（1）化简A；

（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．

【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．

（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．

【解答】解：（1）A＝﹣

＝﹣

＝﹣

＝

（2）∵

∴

∴1≤x＜3，

∵x为整数，

∴x＝1或x＝2，

①当x＝1时，

∵x﹣1≠0，

∴A＝中x≠1，

∴当x＝1时，A＝无意义．

②当x＝2时，

A＝＝．

【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．

（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．

五、（本题8分）

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；

（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转180°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；找出平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心．

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，△A2B2C2如图所示；

（2）如图，旋转中心为（，﹣1）；

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

六、（本题8分）

23．（8分）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价

均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：

（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？

【分析】（1）商场的收费的收费等于电脑的台数乘以每台的单价，则甲商场的收费y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1），乙商场的收费y2＝（1﹣20%）×6000x，然后整理即可；

（2）学校选择哪家商场购买更优惠就是比较y的大小，①当甲商场购买更优惠，可得y1＜y2，解此不等式，即可求得答案；

②当乙商场购买更优惠，可得y1＞y2，解此不等式，即可求得答案；③当两家商场收费相同，可得y1＝y2，解此方程，即可求得答案．

【解答】解：（1）y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）；，

即y1＝4500x+1500，

y2＝（1﹣20%）×6000x，

即y2＝4800x；

（2）①当y1＜y2时，即4500x+1500＜4800x，

解得：x＞5，

∴当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；

②当y1＞y2时，即4500x+1500＞4800x，

解得：x＜5，

∴当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；

③当y1＝y2时，即4500x+1500＝4800x，

解得：x＝5，

∴当购买电脑5台时，两家商场收费相同．

【点评】此题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解，此题难度适中．

七、（本题8分）

24．（8分）阅读下列计算过程

把多项式x2﹣11x+24分解因式，可以采取以下两种方法：

①将﹣11x拆成两项，﹣6x﹣5x；将24拆成两项，9+15，则：x2﹣11x+24＝x2﹣6x+9﹣5x+15＝（x2﹣6x+9）﹣5（x﹣3）＝（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝（x﹣3）[（x﹣3）﹣5]＝（x﹣3）（x﹣8）．

②添加一个数（）2，再减去这个数（）2，则：

x2﹣11x+24＝x2﹣11x+（）2﹣（）2+24＝[x2﹣11x+（）2]﹣＝（x﹣）2﹣（）2＝（x﹣+）＝（x﹣3）（x﹣8）．

（1）根据上面的启发，请任选一种方法将多项式x2+4x﹣12分解因式；

（2）已知A＝a+10，B＝a2﹣a+7，其中a＞3，指出A与B哪个大，并说明理由．

【分析】（1）根据完全平方公式的特点拆﹣12＝4﹣16，再根据平方差公式分解即可．

（2）先求出B﹣A的值，再配方，即可得出B﹣A＞0，得出大小即可．

【解答】解：（1）x2+4x﹣12

＝x2+4x+4﹣16

＝（x+2）2﹣16

＝（x+2﹣4）（x+2+4）

＝（x﹣2）（x+6）．

（2）B＞A，

理由是：∵A＝a+10，B＝a2﹣a+7，其中a＞3，

∴B﹣A＝（a2﹣a+7）﹣（a+10）＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）2﹣4＞0，

∴B＞A．

【点评】本题主要考查对分解因式的方法的理解和掌握，能熟练地运用公式分解因式是解此题的关键．

八、（本题12分）

25．（12分）如图1，已知∠MON＝90°，点A、B分别是∠MON的边OM，ON上的点．且OA＝OB＝1，将线段OA绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段OC，∠AOC的角平分线OP与直线BC相交于点P，点D是线段BC的中点，连接OD．

（1）若α＝30°，如图2，∠P的度数为　45　°；

（2）若0°＜α＜90°，如图1，求∠P的度数；

（3）在下面的A、B两题中任选一题解答．

A：在（2）的条件下，在图1中连接PA，求PA2+PB2的值．

B：如图3，若90°＜α＜180°，其余条件都不变．请在图3中画出相应的图形，探究下列问题：①直接写出此时∠P的度数；②求此时PC2+PB2的值．

我选择　A（或B）　题．

【分析】（1）先根据旋转30°，求得∠COP的度数，再判定△BOC是等边三角形，求得∠OCB的度数，最后根据三角形外角性质，求得∠P的度数；

（2）先根据等腰三角形BOC，利用三线合一，求得∠COD的度数为（90°﹣α），再根据OP平分∠AOC，求得∠POC＝α，最后根据∠POD＝∠POC+∠COD，求得∠POD为45°，进而根据∠P与∠POD互余，求得∠P的度数；

（3）选择A题，先判定△AOP≌△COP（SAS），得出∠APB＝90°，再根据勾股定理得到：PA2+PB2＝AB2＝OA2+OB2，根据OA＝OB＝1，进行计算即可．选择B题，先判定△ODP为等腰直角三角形，求得∠P的度数，再根据PC2+PB2＝（PD+BD）2+（PD﹣BD）2进行推导即可得出结论．

【解答】解：（1）如图2，若α＝30°，则∠COP＝∠AOC＝15°，∠BOC＝60°，

∵CO＝AO＝BO，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OCB＝60°，

∴∠P的度数为：60°﹣15°＝45°，

故答案为：45；

（2）证明：由旋转得，OA＝OC，∠AOC＝α，

∵OA＝OB，

∴OC＝OB，

∵点D是线段BC的中点，

∴OD⊥BC，∠COD＝∠BOD＝∠BOC，

∵∠AOB＝90°，

∴∠COD＝（90°﹣α），

∵OP平分∠AOC，

∴∠POC＝α，

∴∠POD＝∠POC+∠COD＝45°，

∵∠ODP＝90°，

∴∠P＝90°﹣45°＝45°；

（3）选择A题．

如图1，连接AB、AP，

∵OP平分∠AOC，

∴∠AOP＝∠COP，

在△AOP和△COP中，

，

∴△AOP≌△COP（SAS），

∴∠APO＝∠CPO＝45°，

∴∠APB＝90°，

∴在Rt△APB中，由勾股定理得，PA2+PB2＝AB2，

∵在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2＝12+12＝2，

∴PA2+PB2＝2．

选择B题．

①∠P＝45°．

理由：如图3，根据旋转可得，OC＝OA＝OB，

∵D是BC中点，

∴OD⊥BC，即∠ODP＝90°，

且OD平分∠BOC，

又∵OP平分∠AOC，

∴∠DOP＝∠COP﹣∠COD＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝×90°＝45°，

∴Rt△ODP中，∠P＝45°；

②PC2+PB2的值为2．

理由：∵OD⊥BC，∠P＝45°，

∴△OPD是等腰直角三角形，

∴PD＝OD，

∵PC＝PD+BD，PB＝PD﹣BD，

∴PC2+PB2

＝（PD+BD）2+（PD﹣BD）2

＝2PD2+2BD2

＝2（PD2+BD2）

＝2（OD2+BD2）

＝2×OB2

＝2×12

＝2

故PC2+PB2的值为2．

【点评】本题以旋转为背景，主要考查了等边三角形、全等三角形以及勾股定理的综合应用．在图形的旋转过程中，旋转前、后的图形全等，故对应角相等，对应边相等，这是解决旋转问题的关键．等边三角形的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件，等边三角形具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．